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标题:
随机赛程的最佳策略
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作者:
狗咬尾巴
时间:
2010-12-4 11:08
标题:
随机赛程的最佳策略
引言
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在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题
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& U7 F8 e' {; b& O r% ~2 W* L2 @3 e' t
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
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当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
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本文
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问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
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为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
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方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
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方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
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方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
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你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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1 k! k$ H- ?0 p
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
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' @, r' ~3 o2 H2 g W
++,
2 J0 Y9 X) k8 d4 P4 S$ p. S
+-++,-+++,
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+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
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。
0 s6 f; i- a0 x0 o2 [, |+ W
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
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/ m. `) D2 X) m
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" `1 H* W2 c5 g! h
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2 b# q$ C# ~ p$ a( S( x, B
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现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
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3 c$ {0 d, z. _) p& B
++,+-+,
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-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
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-+-+++,-+-++-+,
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+ ]- Q9 ]- A9 A0 }) `; j4 |, k
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。
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仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
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" M# p6 z7 Q7 Z: W" `1 ^& U* q& }
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最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
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现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当 时,三者之值皆为 ;而当 时,三者之值依序为 、、;至于当 时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当 时,三种下注法没影响甲赢的机会;当 时,则以保守法较好;当 时,却以极端法最佳,保守法最差。
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这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
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现在,先把最一般性的结果写在下面,其中 代表当甲有 i 元时会赢的机率。
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情况一:
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此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
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情况二:
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此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
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情况三:
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此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
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现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
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由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
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如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而 为我们最早所想求得之机率。
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6 p- m; V* w$ \ ~+ ~8 n2 J4 f% g2 Q
情况一:
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假定某甲现有 i 元,那么有 的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
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, F6 I; P/ R( X( j( `
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F3 }* l" b0 Q0 p
8 L$ e# b% d n, {% [; E" ]
6 O& O" `+ s! c
p" ?: p4 p" `+ H9 z
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
& z! v& l# k, ~0 D
! w, Z4 b! U3 `
情况二:
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令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
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0 R" F! k2 k& f9 Q4 l
5 k8 _6 l, Y; w" k$ A
" K2 X3 a) T, E9 L2 e
, V; l. \. N- i
) k7 d4 E" \* t, P
* T: l$ E. z! o+ d2 }
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
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利用p+q=1,上组方程式可改写为
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: {& U# e3 X+ `( z) z/ n
: x/ ~+ e# S. W+ O, A
* o R3 c2 x# B1 i* q
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两边相加,并利用 、,得
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) f) l3 t. {4 G
% m2 V: J" ^# ~3 R6 C
3 A, i. M8 ~0 h) U' J+ }5 @
+ \) }( Q1 n! u- g
( @$ [8 ^ @1 p6 {) Y* I( S! g
) b+ a5 h6 K4 ~6 ~1 \
若取前 c 项相加,则得
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- D% [4 ]$ k9 O- f
1 V: U& p* k( }' j% E
1 |) X; a, ^, Y1 W
+ ?" S$ G, F3 u
5 h1 n& e3 y6 o1 P$ p
( X* T/ W9 S' T3 \ D
情况三:
' h1 o0 ?* P9 t% O @! e
仿二之解法,可求得
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8 h5 L+ K( w ~! k" }" X
* t: i4 d7 d' I) q
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m# Q. r1 k$ O3 s
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保守法的 已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的 为最大;而在情况三时,反以保守下注法的 为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
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首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
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8 [: C {) P( N) z9 I7 p
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定理:
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设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
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此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
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0 B2 g9 E4 e# Z# u- E2 r, U
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
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首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但 = ,所以知不论以何种方法, 。
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至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
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! P: |. [3 J6 b1 x$ |
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其中 为所下注之金额。利用
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可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
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因此可得在情况二, 时,
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& J0 n9 o* h3 {" r/ h$ v. U! ^
而在情况三, 时,
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但 为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的 为最大;但在情况三时,却以保守法的 为最小。
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至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
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附录
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在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当 时为 T=cm,当 时为
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另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
作者:
爱拼猎人
时间:
2010-12-4 15:13
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
作者:
tb35891
时间:
2010-12-4 16:55
好文章,学习了.
作者:
tb35891
时间:
2010-12-5 20:28
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
作者:
牛二哥
时间:
2010-12-5 23:11
我也来学习下
作者:
ck6767
时间:
2010-12-6 09:46
太深奥了!!!!!!!!!!
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