随机赛程的最佳策略

引言
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在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
9 Y* S1 s% K! s+ a2 b; ~6 E+ {4 B& e
" t- V1 [) y( @3 ~+ E问题

( h# F% S7 q* A! R
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

; Z% R6 A. L# X5 l9 S5 G4 q当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文

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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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% |" q! t! k- r% s" s3 z为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

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方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
7 _( i' H9 [0 w( p! x+ a你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
2 [7 }+ ?- Z  x, T# O4 c
/ R2 G8 j- T% n9 t6 a" b6 [- t首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
  B/ B2 ]$ x/ x$ _
8 m9 x% k3 ?  o( a7 f2 I++,
6 z+ j1 P. s/ f2 u% B+-++,-+++,
  B' A* A: P" ]2 o% @5 X+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
9 [* ]! ?$ ]- X% q                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


+ b- C. Z" p7 @8 C! y/ F


8 y$ j- }- l2 c8 }/ }) v/ v$ ~0 e

$ t+ v8 [& X9 H8 ]# X9 s; O
, s! }5 T# a/ ]" E/ F
: T& v( T5 I2 A, ?) ^
$ h, u) m4 T6 l8 @: U# x' D$ m现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
; w1 W+ c/ I& G9 U: e2 ^" W. X-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
1 n! s% Q! W" a                                                                                。

" |: T( o* p5 i$ r; X仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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) T* ?+ x  n* S8 T" E/ N
1 p6 a0 z1 r- A) @& _  K# u
: e, f0 [5 I2 q7 H( Y' i

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% p2 s' q6 [* g& M- l, p5 i/ I: W最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

. l9 [5 m% e+ ?* S* }, Y这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
0 G! c- k* G5 C: N, W) b- y
7 S7 Z& K- h+ Z- L+ y现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

; q2 l; S$ h# e. s3 \/ h! \) r
情况一：  
+ V/ M; X3 D( t- F6 O  d; h此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
$ ], c/ T/ i+ s5 Z: I- Q- n此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
0 d* {% [' p) u: u3 z! k# @6 v此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
; s' \$ t( j6 T' ]$ M- H) n+ v
% M  [- i5 O9 x. D2 C7 Y现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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" D" |5 w. C- ^* T1 l$ }, `由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
1 i" A+ S: J6 P% M' k& e. |
* M  `; V3 B) s" H2 s; y如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

& j- U* O4 Z+ I- @
情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

" q( z$ x4 [2 o) c5 {
' N1 I6 R0 F" q5 D! H. W
+ f/ V! M. ]5 h; k
: W/ m( G* a% m* h
% `! S  y& z) V$ L! H# j) W
, G* t) I6 K5 j5 ^7 x0 d7 x" y这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

4 G8 j: ^, ~6 N8 I7 W# v1 b
" ^3 K8 p% N9 G
: P1 ~- N  z6 r' H4 y- G

9 a7 T6 E! w2 B" n0 N/ d1 \
! I% ^0 z0 H! @这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
# ~9 Z- G7 A) R' `利用p+q=1，上组方程式可改写为






两边相加，并利用 、，得


! Z" X6 _/ }4 K5 A0 G

# Z  `- P5 K/ ?; W" K$ ^

若取前 c 项相加，则得
( \3 S6 x6 u# W' H7 n
3 `) _; b3 }- d0 J

3 n. @0 o3 z1 b( V$ w


) r4 R5 G. L) L) W. D情况三：  
; z7 x$ K8 Q) j* Z4 ~4 `仿二之解法，可求得
, y8 B, t  \6 ?' F6 C0 H


. Z; e* E2 g0 E8 [* \, M8 n
" ]+ t# }9 j9 A: F* W

8 G$ a7 r( s; B0 |+ l: n( l9 [
0 w) x/ o: N5 T7 \保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
. u+ Q) m: `  J2 Z
% B! ~! f$ |* \: ?- H首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


, `7 B: L% F* o2 w* J0 R定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
% C/ u9 Y1 C  A$ O. [% M8 V) Z此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
0 q' u" K7 ^3 R! C
7 o) V0 u& @" a- L. f现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
2 ?! T) N6 C- N5 F/ ~/ G6 A2 F& R
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
. _8 y! Z$ D2 Z3 s
! B0 i* s2 j, v至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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其中  为所下注之金额。利用


& u* A; q3 y7 d6 F( O: }
& x9 O: G0 ^# {% Z
3 `9 F% b! _4 U) z4 G* A' c
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) E. y, G7 C+ N# s9 t& ^# Z

6 E$ j4 O3 Z2 l/ g. v% l可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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: P; s) j: _- W' v( p; }' u: B. ]6 ?


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4 e( J- L# H  ?5 s, [, [' f1 m因此可得在情况二， 时，



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, M' n. i$ v+ s0 l! k


7 h8 M! d5 @9 x
6 P7 Q6 H& p5 T2 j而在情况三， 时，



4 M+ N- a; @* \; |& A

6 p1 g5 d! Z5 r! F
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8 K3 k( h$ m3 l' ?2 V- s: f' u
$ P; x# ^9 Y, |% z; k+ ]* v8 G但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
; S7 L  O/ m4 S: }5 G
- Z6 E/ v* @5 i& A至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
( x, k. o9 C0 x5 N. S

在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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8 F4 {7 s& D9 P5 b. V* I另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！