随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
1 S8 C& ~( W7 C' e2 Q& Z

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

$ g/ F( n$ ~* Y* [. p* d当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文

7 q2 n' r* p4 E8 X7 N
7 u& l- T' P: b0 Y/ M  R0 {5 E问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
* S) O; [7 p' D9 z; o, x

1 K. `& R2 k, R) G( M. D方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
" H. q- ]( R& q/ e方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
) X* B( X+ E- I0 E% W4 ^0 t
3 ]& k' ?# C( @) `# e3 [: T首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

+ ^0 Z4 S+ p* W$ A++,
* G3 D* \" H7 E: ]  z+-++,-+++,
6 o3 G& s) M7 E& J# g+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
4 z6 z  T; v8 ?- ~3 {! K1 O1 A
3 L, |& E# N/ I5 ?9 s! n
: O* q: Q% y% f+ [7 h/ s0 d
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# `, w  L3 e$ x
6 o+ i. a) b/ b& t, N  h" u
+ f& k# _" h+ C  O5 m( r# J6 s现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
5 x/ F# w* F  j$ K+ j
" @5 `6 @" A1 ?; T, Z1 B" D++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
4 n/ Q! s; _  X2 D/ s) c                                 
4 P( G2 @+ g" H- q* k, ,
                                                                                。

- ~: T7 [! f8 _: b6 X仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

% L5 l1 @' V! L& o1 M



8 g. w3 h. m5 e- l( ~! H, U


最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
* s) \; X6 s; N5 |: H' M! r
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
# S( R% Q% D; A; z. r
0 ~) ]% ^& m9 A% h; `. A4 \. c% A现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
: M6 E( c4 p. l+ d0 z
2 Z+ q0 N' M  `
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
$ `: U1 Z7 ]+ O# g& L) z
3 M% d( [& n2 {% e情况二：  
# D2 n8 {' ?* H! J此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
& g8 X- @2 Q5 t3 m
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

! f! ?. q2 }0 U; Q* W2 U如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

# X/ U# T. M' F
; B: p8 }5 o( K1 ~情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此




$ B" j) U. j1 _1 u

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

5 q" G. A) H" w& d" e) p2 w+ {9 l

! I, q' t( S# i4 P; y
) n' y0 E7 h) ~% J2 @

7 s2 B. f0 L, F* t7 M1 i! G; c这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
& }) Q* o8 ]5 }/ G/ g利用p+q=1，上组方程式可改写为



9 K# _( G+ @0 D+ _& _' \/ g


两边相加，并利用 、，得

( q1 ~5 Y4 \$ S- F7 t% z8 F
3 ^+ U2 {' [4 {% U* S$ B" k  R

) Q8 s. n: V# `0 p

4 Z8 S4 Y/ i) Z; j( d若取前 c 项相加，则得
: L( k4 W! A0 t1 B) C/ K( P


" V: ]) m: {/ F: s, j* E3 [

' |7 N. J& }- |3 ~
- ]( ~+ ?& g1 m& p情况三：  
8 A8 Q9 @, c: B仿二之解法，可求得
% V: m# ^) E7 H, ~7 c( t- W/ u/ T


. z+ c  j4 u/ P2 l* o: X& k4 `



保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
$ I- X7 O3 E1 L2 c# ?: A
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
- m# L  p; S6 H4 M/ Z
9 V. l1 w- Q# K9 x$ ~
定理：
# @. T& ~) O+ C  |设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
, p$ M$ ^* H8 s6 }# E( c此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
: s9 G, w  K* a, d! e
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

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' V! Z6 F0 [( k) H

( K1 u* }# f8 n) ]& X# t1 u* c, W


其中  为所下注之金额。利用
4 E6 ~' k6 J  ~- i* P5 F
9 G" y; Q& F1 d+ _9 D' }0 t
5 N* a# ]9 O3 Y

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# D9 m$ N5 \+ T1 |, r/ j% m7 b

3 z+ C6 e% Y9 q% Z2 Y  W可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

7 x) x/ ^5 H6 ^; f

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/ E& h5 G5 y2 X2 L1 u+ H" d* T
3 ^8 A6 h2 w* S3 J8 H. M

/ @) V1 ~5 i/ N# S0 B  w因此可得在情况二， 时，


' E' K7 p2 X6 s. |
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( D$ D3 `! @3 F而在情况三， 时，
9 B" ~/ ~) l( K$ b



# l5 \% Y( z2 U$ F, T2 v
9 g1 f: ~. B& w: O


) N6 m+ P9 l% j' W但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
$ G; J8 Q7 V& w4 {4 j: T  r# n
2 N. N, |' o. Y$ r至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录


! Q# [) j, x6 p% _在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

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+ h) p* H# ?: A, @

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！