随机赛程的最佳策略

引言
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在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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3 @& \9 N& u" u问题
# i" s4 U( t# r8 ]* x  d
* P5 X0 R( g2 V. K; \
. N; D# {4 M: z% N& Y# q有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
- l) E2 Y4 N, {( P
: p" r2 u. L) y- @本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
- q  u& u3 ^& l) [5 L/ a2 f4 h  a  z  B
- }/ J5 g- x5 h# Y  Q" F
. N: w2 {; o4 U; Z8 ~5 b( h4 r5 E方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
' o$ j* v" d" f, m; [你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
) x- O- X6 ], i
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
! C+ {3 F/ m6 |3 D
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
. v6 I2 z7 d  ^* ~. @7 N                                                                                                。
' ^( \0 D( j# a在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
+ c5 S" v4 T  ?% d1 q0 _8 i9 f





& c1 x( o0 a; |$ x/ |

7 e- m' T- ]  P  T$ l

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
2 r* p& _" }  I. v$ N8 k
5 L# A, M) M9 o, `, \* ], F++,+-+,
+ e; }1 q* Q* S2 ^-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
) [! d$ l/ H% @-+-+++,-+-++-+,
) L0 \% k. [" {                                 
, ,
0 g6 a; y' }% y- W+ J                                                                                。

$ k3 v5 y! l9 a( b3 B/ `/ y0 b仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
! Z& o1 }: x$ Y  |& `2 n% c



" @7 ^3 a, V3 W8 z  u  G

! B- Z1 b* D7 \8 C- ?% Z, H

/ x& p' p8 v1 @# o& ?$ K最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

* |: ~$ e6 w% R  w2 I! c现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
' s; a: Q" n! B8 x, M: P( x- S  X
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

' Y# C: Y2 {9 A* u: J
: k) i. l5 M) o8 ?' w情况一：  
8 h+ J- m  t9 O此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
$ \, {8 R) E: k) T+ H: Y3 R此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

$ X0 U# ]( }3 H0 J情况三：
% S* K. o6 \. v3 \此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
8 s; R, j* B' s7 @( [9 B! C
, B0 K1 s" ^* {* D% s* A# e现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

. C: E, f7 o) s% t8 e2 F由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
: _; K9 ]- D( ?! Z  f7 [3 p

" B, Y! a1 y$ ], H, N) i情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此




! Q! ]8 d) P  @6 Z0 i# \% f  F5 m5 M  G

# H! b% K. a' {3 l/ N这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
- L% A. a- p3 @+ c
5 C$ }% p: w2 Q情况二：  
: f. F, `3 O3 z; b1 }" f令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
: z8 H( H5 L8 `" s* w, [; y
! w2 R9 [# B- F7 G, p
5 \8 s) @- A3 T  W% M! x
' X3 \6 Y1 E" }; q; l' h% m

, E( A5 k0 Y- P8 J- r
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

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) T4 W' |8 P: V4 e
% f9 @' {0 W: T4 s+ A


两边相加，并利用 、，得
, h9 t. L  F: {6 u2 a, R" k  E


: n! p1 T5 {5 [2 V& j

% h$ {( H* `2 }' K7 q% B* K* ]
# p( G5 o' W9 v5 v4 F3 r, ?1 b若取前 c 项相加，则得
4 T( Y5 M2 R% d/ d  J$ K) `9 B

3 C) l2 ?6 {3 \6 @



. u; [  L; v2 C1 F+ N# p情况三：  
仿二之解法，可求得
$ c3 ]- I' J4 ]& n+ a" o) }

6 K% F; x3 f) j3 U

- G) ?  L4 E. Y
" y/ L  y# D7 U. c

/ M' S! p: ^2 @0 Y; K0 u7 g5 M保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
5 e- S5 T* g' ]4 H' e( l
9 D" N" `) d7 s4 [) q首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
& G' Q/ o- X6 r0 x) ^8 S) J

定理：
4 Q  ~- @7 h7 V7 l- I- n设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
5 D8 k1 p, J# }0 K4 R! l) h/ \& c
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
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. L; T) V  h  f5 b+ u% l首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
2 `4 c3 ~" B9 M2 \
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

6 B  ^5 _0 K6 [% M, `

3 [% ^" M: c7 j; c  }' [1 a




( o% t( i3 v  N4 Z3 T' ]其中  为所下注之金额。利用
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  G8 h$ o7 ^# {1 }4 Z: O


7 d) M2 H+ ~: r/ {2 c


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
# g; d0 u/ z1 r3 B9 Z
/ f9 P/ h' c! k
& H( ?% r% e- p  G* u9 e5 |




$ ]+ k: d9 H" S! b% V4 h2 s
因此可得在情况二， 时，
; ~; l1 Y+ C+ ^5 n. z" a


8 Z) Y/ f3 W. ~6 T% Y0 I% R9 f- a: a* t
) G. G9 W3 M  n% w. L
: q0 a3 D! o& U6 S& q5 @5 a
4 m- M6 i+ ?% [! y! C! A/ M# k

而在情况三， 时，

8 y- i) {' N' J' `( Z

$ w  R+ H1 O7 ~$ y, n" D+ {
- @0 A' Z2 S7 A8 g; D3 ^. S
- [9 f" A+ z+ i- n) b: V

* l5 K! Z1 L: @$ Z5 ~2 p
6 N. z1 B: c. @7 ?7 o# M但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

, o5 e' _+ r4 c( K至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录
# y6 P9 d) `+ ~4 R0 K0 p, P1 a2 @

+ L% J5 s4 U3 P( v2 p8 a在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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. M/ `( n! m/ Y/ w: c: q
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! N$ a3 z( H( r! H* x8 g; l& U- B另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。