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引言 6 k# F6 k9 G6 l" g1 z
3 s% y5 o- o$ ^
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
: T6 q5 m/ i' o+ i+ o$ Q( I; c
/ {. B$ q0 b& l) j. ]9 Z问题
1 J# s  p/ Y# P% \6 x  Y1 j# D: k1 U/ i+ U/ v6 l

$ x, v. n7 q6 k! d% H2 N8 X有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
- @! N% G: I/ }# _4 o0 X" d6 j# P: |' Q% f, T# U$ `* ~* D: t* X
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 9 T3 f: m" u+ M8 c! b. d

0 p) D3 h4 Y' V- o5 L4 B5 p本文 $ P) x2 Y' m# r0 k' J

- R+ x% z. @$ L" Q8 T3 r, c
# v9 M) m# y& M, d+ |: }问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
6 R4 l7 _4 r% L+ Z& u# F( C. v( ?. U, ]' Z
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
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( ]  w8 q* ~8 i& s2 [" w. l
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) ! p5 i6 ~8 ?: h9 x
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
2 N# j! {: a9 Q方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
: Z6 M, i3 m) X你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 # `8 V$ c9 o+ u  \

, a4 Q, z; i. e& Q首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 # d: _8 n) D6 I% |! V% m

/ r6 ?& Y! X$ \0 f8 @++, ; b) ]' \" Y: b6 ^
+-++,-+++,
& U9 ?# H$ Q$ U+ J+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
  U7 b# h- e9 o# x+ ]7 D) S( l4 D- N  L                                                                                                。 % ?' E* U9 M% {
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 5 L2 P8 a9 X# z8 b: M4 q% k  m7 m
8 D1 [( H- Z+ R/ u. m8 y
& d# x7 C/ H( ^" @9 |
8 Q: a/ r2 M4 i- I, g) k

0 j* a% g7 _6 |( o  Q8 g3 ~8 D9 \3 E9 i& E* {  ]( a

8 i" N+ u2 Z1 U, Z% @3 j- U9 [* n/ \' i' Z7 y; F2 a

8 ^8 w8 J9 k; ]0 {, k$ F7 }+ H6 A' z0 d8 X4 I
- P+ b6 z3 G9 k/ D( I# Q- K
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 ! p! e$ a  I; \' ?
; ^* b& ]% N4 F, Q# B  [$ W
++,+-+,
3 L6 \! |$ K& X% p; e+ W-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) * Q1 z. i1 P  e% X7 T3 R
-+-+++,-+-++-+, 0 \$ u; Q, H, r
                                 
& Q  [* V0 F% B8 q# K, U- E, ,
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仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 0 W! n* [1 i' M! Y: g3 C2 p  A3 Z

+ ~5 d; K" Q& v& x  c5 f6 N: z( S! T- D; X

2 U* S, a6 ~6 l. s4 v$ |0 i; d& O, B" ~+ T- q

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$ Y. ~" _& i+ z! j/ L* W# t5 z( c1 s: Z
2 g1 W7 |5 [+ |
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 8 V6 c4 l/ {9 d; {
: B0 g+ N# z3 H' T
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 3 N% |2 X: n$ ?( [9 d0 C
7 T! |% v( A2 P4 T# u
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? $ L) }( o$ _2 R) M3 I

2 r6 A# D3 G. |% i3 [8 |- f" l7 C* b现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 7 q- a! e2 h' ?* B9 t& n- A& [

  E7 |2 j, V5 d, o  P; }* F. c9 c6 y8 l, r& Q8 J
情况一:  
' v1 `: n# V" L* K) O" X此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
$ [5 e) u1 \" c; b0 d" `2 I2 P; p' k: B3 e5 u
情况二:  6 [/ T2 w4 y2 d; K, U
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
1 }3 A/ @6 x: R% s
, p9 A  C' a, _* M7 s1 E情况三:
0 Q( V. K+ L' L* C) J# g此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
2 F% t* j  U8 l9 D; S; E$ E# N4 c, l6 Y
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 ! L: k, V/ `8 Z( P! h) [

4 _3 q1 a5 _1 O+ J# `/ ^; |由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 6 G! \% g2 ~" D+ k/ p
' Q# A- ]1 R. S3 ^/ [1 ^
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 0 l7 F7 r7 n- n& T( f8 i$ P

1 G  \& f* W) S5 S& u
8 A$ a) {1 P: i+ m0 Q  x3 k# j情况一:  
; A; S, r& A" `( k, R假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
$ H7 S+ n6 t/ h; Y5 X( O9 i- f
3 _6 G3 _( y+ l( Y- v# B2 |
, A2 K. c* A6 v1 Z# \
3 ?" {/ I9 h) l/ Z4 v
( C1 O9 `( a4 L* Q0 h" h! H. o( u
1 w, J2 z! L; U) m, W+ F5 X4 J
& f% S5 ~7 v% R) ^. Y# X: f  Z9 l这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 8 t# Q6 U6 W/ U
/ U. h4 R- R+ l  B
情况二:  
# j+ [2 _& i/ q% V1 n令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 ' ?; Y; P& C4 H1 U

  L8 ]+ H$ N  ]; ?& S& u: Y
: z7 x2 F6 V/ `8 I0 O: _( \9 f7 z: M( l5 W
8 ^' f) M$ S- y. x9 P3 r
# j5 F3 g+ y. b& P- q
+ X$ G7 _7 x- L
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 + _6 c( b9 O6 f6 O4 H7 l2 P
利用p+q=1,上组方程式可改写为 . o) X  D% U4 ?. }, p; \; \
& `" h3 r0 e8 i

+ M" ~' F% i0 K/ q7 d
0 @. a5 g* x4 _$ y0 Q8 c) ~
/ u$ |/ \% f* U. {# w& c: T
( ^9 @, M5 M9 A3 @$ u9 R! r- C* a8 J% J; v: y# v* F
两边相加,并利用 、,得
; x5 q/ k' ?3 I( v, x! r  z6 o/ Y7 i& _4 E" f

! G8 O( h8 j* E# T! c. b% N9 F# Q+ V+ G
8 o( s& F8 F: s% K+ T+ Q
7 S( T( P' W2 s+ H9 [7 y$ z0 @" v, w& J+ L$ I
3 u$ t  F3 K0 Q# ~* `
若取前 c 项相加,则得 9 h3 O9 z' ^6 E1 L2 F
) h" D+ N) K0 t6 X1 f/ E* j. }. P1 L
0 y/ `8 r' H7 f; R5 V
: r* S( e8 W; L! ]
! n& w; {; C6 T, r* w2 A* f* d

. x* {( s' z9 u- G, h% j+ W0 G) p- j( Z- t; k' ?$ f6 I3 r6 C. e
情况三:  0 X. T2 r& a7 m. \: }. [7 X
仿二之解法,可求得
% T- \7 J3 M$ r8 l
4 o5 p& k7 d- m, ?& O$ `4 P# b1 l" r- S: [# ~
/ r, f0 i0 x1 a. N

% X) X. H  `' m, `/ b! X4 {* U% b+ {% _

* O  L1 u; a* s3 ~! f0 x0 n: C2 C$ W) e$ L9 Y0 n- f" I
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 ; k8 x5 h: b  m( ~9 w. S% J

1 V' c. Q2 B' n" C0 R% R首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 7 A- z. O; O6 V$ G$ _: V  e
" n7 x3 f& z5 k2 C7 C. B7 M
- F+ z/ |8 d5 V9 ?* ^9 H
定理:
& j% H& `- \" q$ _设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 ; H8 c/ o0 l. f8 P* x
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
2 q. c) z8 [# N2 i6 o$ Q3 z
" v* a+ a0 o* Z+ l: c现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
% W' k" x8 V# }2 @' G! n" N1 f" X" \9 }, w) p% Z7 z4 Y9 d) A, v$ I
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 $ l+ K7 e6 J# w9 q* f- D
+ Q1 s* j: G, K9 F
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
& U6 G6 I; r5 f2 U' A) n- {* w. j6 u7 J2 X

. B6 |* d" {# l# V" B1 ~. e& y8 S' N+ m; r: j  d
7 A6 }* R8 l8 w: o$ K

- x% a% `7 r2 n( c( f7 h
, d& f- V8 h- l* \
! ~! |4 P4 M( E" z
% l4 @' ^! O9 W2 [$ o6 ^) o7 t5 K其中  为所下注之金额。利用   a; X) q! d7 }

8 [2 X5 |; M# b7 F6 @1 w. P5 o
0 a  w/ x+ V- n: ]9 U4 H1 [6 r
5 C5 }' ]: v. T9 r+ }6 i+ f" E3 m
7 Q, p7 b3 V* W1 u2 ?, |" |: U
! k/ i9 j' a4 o0 C' u. t2 }) L3 b) k4 j

2 I+ \+ B# \4 F5 Q$ j- Z; C8 _% B5 }
0 Y' _8 E; E' @9 `" _可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
( E3 u; M0 s6 j- V3 Q* M3 W0 C4 v  y: O9 ?! A; u2 f/ t6 R

5 ]$ K  _) i6 c3 g! A1 z4 U
, S8 d* O# @! D+ }; h7 I& J8 s3 T' b# s# b% r/ d7 F0 B6 N, ?

6 d9 K: L2 t- |8 b8 h5 A9 X, D& [4 L. e

2 Y% i% T' Y" s( T1 @
+ q' O# t) h2 V8 D; E( W因此可得在情况二, 时,
. k' e& j* y/ c! L* ?: G! ?$ K1 \* p. i" E& D
7 n8 O  A& W3 E9 I" i

- C8 F* [% p2 g  U' A! }. b0 G9 A! f# J7 H) ]2 A3 }
% ]7 _. y" L. V# i0 I' q

' b' q' I4 @) O, @, \" S( o. B3 l( F. y% \" _  ~
: F$ V' r/ s  A$ |( L6 O
而在情况三, 时,
2 n" \. y3 E- y( F: Q+ q: y8 h5 a( ^3 {5 y8 _

0 R6 P% v9 K0 z! O) g# {2 y& B. [7 w1 l" }( T
5 d0 ]3 r4 {8 U) B, ]. W

& `+ b; r6 D7 ]3 R, ?/ o3 ]$ r# O$ p& ?% q* w- y, `

7 F' u# D. N0 C# g$ H. O$ L* u( Y. d' m, H4 B  O+ t5 i% r
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
7 q- a6 p0 m) T$ p. e. v( t: B/ V+ ?' r5 b! [7 G" Q
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
+ B" X3 D) k9 v8 f. r3 K& {: w: _7 A2 e& ], E+ J+ |+ L7 g% `7 r
附录 3 g* m1 ^7 d( m8 ~# H& {6 b( w! P) v" {# \

' o1 ]% w6 g& Z; p0 [8 Q$ M' p$ x# X
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 ; c! X7 W  p7 s3 w0 F+ P
. w( z( _' k5 V4 Y+ t% U6 }
: Q4 }! |  p" `2 D$ C

) R( K' Z% N" e0 L  ?* {1 T" J8 R& Q4 q+ Z/ g3 X" u
# j# l# d! c" D9 i2 a
( G% g8 D% U3 ^) Z+ u+ Z7 t# ^
  L# b7 D' v8 g9 ]; b- y
* H5 @8 v/ v/ ~
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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