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引言
/ @) H0 b( i: @; j# ^: s" O1 t9 R7 _
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 $ I3 n5 B/ G! K: z% ^1 A

2 ^5 L3 n+ }- X5 I) D. ^5 A问题 * G3 W: b: k: ?$ e) z6 f. P6 h: g/ y
% K! h% o. i9 s

! S  Z5 g# z) H5 I$ n有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
; L. }0 D8 S- J  w* d2 {4 ~7 J" J' B; @8 L9 ^: H
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
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2 D5 I! R1 E  K6 F6 p本文 % I, ^) D0 ^" G) x# L

" Q/ ?- J' U' z; F, ]1 l& ]$ z
0 Y; w$ a! {; d+ d问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
. `0 n, M! Q  ]( u$ y
" u9 [; E! _6 i9 k6 g+ n" O5 E为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 5 @: L8 v* e% h
! a: |) x$ v7 T/ @: c. p: u
6 \- K9 f" `9 G" o& e
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) " r( \! v0 R3 {2 q; y8 V$ c
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
1 n6 R' I; N8 q  f4 n! q方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
' U' i# L# G. b0 p; W7 J你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
* n0 ~% |$ ~5 T: h% S1 x* Q) u# I9 E7 [, O9 V8 P
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 / J- P6 C; s; d4 K# k2 P1 w$ G/ ~
) ?& w- H+ S) L0 ?# S
++,
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在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 9 T# D* j+ h$ @7 \; B

- i( r5 D' `$ v8 Y# h$ L5 l! x, Z; W! Z& w
; B6 K# r( c  d; C5 _$ y* V8 |
7 R2 [- y, t: X$ i$ ~

5 Q0 D/ N& V, q" y% `4 L! {; X4 E/ L0 c9 [) p! [( D

+ ]" c6 v. W* T  q+ o1 C) {
$ u, X3 i$ K  {1 b' f: u, i  H* y% ^% M7 ^2 `+ Y  Y1 M
3 A  R0 Z- k* W9 j% W  j) a: {
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 9 L1 O2 e9 _+ z: p1 R/ i8 x

8 T, D& q8 \/ E1 y- m++,+-+, , ?3 K" \5 A$ q1 _- p7 t! T  I
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
4 x3 q/ P1 F- S  P* s-+-+++,-+-++-+, ; b/ h" ^/ w* n" f1 D
                                 
) q! G3 F/ e  p& e$ |& l! h" p6 D, ,
0 I/ Q& o  M5 p+ {3 @" q+ ?- S                                                                                。
# N8 [! Y; y& h3 X+ B. W- ]5 I# A4 Y5 V4 \7 B
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
" l! r; @5 @" @( h" o
/ B' J  C7 R8 P' \3 l" w1 X
+ H% I8 p" a$ e/ K& R# k  N% [0 L, C8 J/ N, M
, s" Q! r) ]' ^' G' S3 h! m
0 ]* m4 e( ]" }- ?& V$ g  L

" \. |/ Z8 Y) x# |: R+ e$ s' |. S1 o3 s4 N% b& J
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最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 # M) g) Q( X6 d
0 m) b! y6 p8 V6 s6 @
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 + K) ?; m* |% L+ Y% ]

7 g2 Y5 S: s3 g/ G% q- ~这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? 9 w- A: _: K* D
+ ?: R3 w9 Y8 `
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 7 W. G2 z6 h* H9 {* W# p

+ q7 Y; Z3 [' l- z1 j8 ~, ~( D' M2 `( v) p  x
情况一:  
" W( c1 B" r5 K8 X0 g# U# O2 n此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 4 l* j7 X% p* U

  r+ p0 c! j3 x) H  \情况二:  
$ {1 A+ p& `3 b, E此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
- o! r, q" g4 K6 Y+ F
6 O3 [8 x+ c5 i- N8 z情况三:
  ]* l# [1 @6 i! ]6 t3 X此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 , a  x' o2 e3 x0 L+ n' t
7 O" _. ]# f. y1 T/ q
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
" Q8 `9 e! f! k; _4 m" w. M$ i7 R8 H& l) M5 J; ?9 Z- k
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 " n0 C* h* T! W0 ]

9 Q7 E. ~9 {& U; Y  f3 Z如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
& z- T: y+ C6 d3 \- Y% ?
0 S0 u, j2 A7 q( I0 z+ R) W# E; V+ N
情况一:  
! \+ g' B0 X8 H- g! I- l假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 9 t- h' I, Y& _; R

, A/ T. v# ]  T0 d8 h$ y" m  Z# `2 j* I8 {# a7 E! K
! [: d# ^7 J: Z2 D
9 b+ x' K) v. y/ o8 c! ^
, \% D7 e$ x4 h. q7 T& k
% g+ C9 A" f2 }  T7 f" v4 g+ j
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
9 D& V. K/ F2 m. U4 j) K# X6 W* q2 k* g! j& v4 M
情况二:  : x% |. z& f# m& w% e
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 + A3 g* R1 N) T4 r7 \0 u( S

7 G- t) z% V3 L1 X4 `6 L  }
3 f/ M/ _/ D9 @( M- c
9 c# u( s% ?/ _3 m" k6 C! r
6 @3 D; r0 [" S6 D' e. O+ J8 J! W+ D6 }3 ~0 c( t# r7 B% H- X

5 G' f" l- @7 E$ T- w这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
% P" S; L* F+ y) y" j利用p+q=1,上组方程式可改写为 1 f8 f: B& J4 |3 p) @9 R# P3 V
4 r# C4 b+ e4 M$ K

5 b: X( }1 s$ r4 s0 _) E+ }
0 Z0 ?: [( o; Z* Z; F
3 N# j5 J' `$ B9 ^8 X/ R' n8 R9 |, o# D# W: b. n) r' f4 j
) x% u! [% [& l+ z$ I
两边相加,并利用 、,得 ! @7 Z5 i& M2 {) F+ f2 W
: M( _0 u) r7 `. m" q5 y# v5 W

8 q* p5 Z5 m7 {+ J! H
9 a) a" V! _; W3 P' z% N/ t
% z  U" i0 _, f8 g  o+ K, c) S4 D8 }0 V) E& L
1 c$ Y0 S3 E+ D0 h
若取前 c 项相加,则得 3 L) Z0 J) \) p7 t6 I; N% @
: u8 e- O5 {& g  Y

0 B% E4 |* h! f* f2 Q& N/ ^1 h& b  w* R) K. w1 l( R6 f3 B
/ r; ]; C" r% @- P( G3 x

  Z/ n8 ?3 Y2 Q& l
  X! I0 ^* H) z7 ?0 l/ o情况三:  
7 {$ N8 d( W- g" |* n, u6 m8 c仿二之解法,可求得
& q5 z7 g3 @4 T, u$ Q; U) ?# I
- [( t- E4 E2 B: O) N0 R2 F
/ X4 L& R* L/ [8 |8 w" `- Z/ I2 B. m- S
. q8 H/ V. M5 ]
4 D6 j5 W+ {. |/ p; G* ~  e

& x2 A* N, H$ N, G' [, R. q. B$ c8 Z% a& h/ j
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 , u5 ~0 G9 B2 t* X6 K

- ~/ G6 \0 Z) Q1 {' q首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 ( m! K# u- t% }" p. G4 y/ G+ B
) h, ?  [" Z2 E, p& h4 a' f
6 L0 Y5 J) J3 O
定理: . T% w+ v' G; K' s0 F8 R
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
3 c5 w& L% }1 \% a; }此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
1 _! p) ]7 m$ V9 y, h9 W7 n% {8 ~* ]1 u, k0 L2 a6 A5 i( ~
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 " e3 k  S9 G# R$ i4 x" O1 Y+ z

/ N3 }; C( e5 _. j' w首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
1 L9 D+ D5 j1 l8 I# _( L- s# Y+ p
8 q+ q4 g' M3 Y5 [& R2 r  w至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
3 z( q) e/ A. d) k4 x9 x/ ~* P% A( k( |( K8 A9 V4 J- ?

$ j  U" |: t# P' ?7 ?* I$ }9 h
3 s% T( q  P% g' T) ]6 y5 d5 u4 I0 c6 s

# [* r) K) x+ B
: y- I, i2 M+ T9 `; F0 \( M+ e0 b
/ y6 l' V: g& {: g0 X  E+ Y/ y1 A" w7 }, L5 M
其中  为所下注之金额。利用
! f" ?* Q7 Z! d, z2 r/ n7 f% X" B1 I1 `' A8 J; {) y, b, L

* l4 _4 W4 Q1 n$ ~6 t3 s4 d
9 E+ e) l: u9 k" n+ Z! Y
0 L4 D0 ^* I  F& [( G7 ?( e9 m, C% U5 b! ]& B
# S8 F% _! r1 i: p+ `) X

$ N% {$ S  m% z) r' B+ X( l
2 |3 i5 D) N6 ~可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 5 M: y) |$ T" B; d3 ^, z% }4 c

$ P9 r7 F! j8 l) ^/ q, E3 l; @
/ V  g0 n4 @8 o6 v0 |
: I, ]4 N, P2 G, P- E' E; B3 ]: m& \& V! W9 x! x6 e& O. l. H

* r# E( @5 _$ G9 @- j+ X: U3 k# j8 Z7 o: \  f% Z

. C  c" \- V0 S2 P2 Z. ]
8 |3 n& Q  l0 u1 ?因此可得在情况二, 时,
8 @! ^0 y9 m; k2 U
% g2 G4 ^$ U, U8 e/ }8 o6 F" `. A9 p/ X( z* X$ L1 B
. ^! W( y8 S6 T* z, \

& l8 |. K8 t. a% L1 \3 _
; {' ]/ F& D4 S8 m1 V
/ e# p& u/ p6 L7 v% G2 _0 @$ E' L( ^5 n0 O' q6 y
7 E# _" n$ |+ T2 j2 M$ M
而在情况三, 时,
; q6 _3 \- d7 o+ d
& W# A8 X* ~* s8 m9 F) s
) S) C0 T! [1 g/ U# W
, {" `" E& L5 H3 {( i
. y: [3 g; O8 F. T. z, J
- e1 l4 h: g. N0 _* d
9 G6 A: `7 Y. Q6 p5 N
' d" ^: T) b, V* ~4 J# ^$ ~! {; w$ V$ U* }+ ^! T6 I6 u1 D+ S
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 . X1 j4 l  [1 O/ m6 U2 c
. V! D& T' T% K9 W
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
# m# o3 ^/ s* F4 b; {
! H! w. W* k$ n6 d" e+ x  C附录   g' |' x$ d, n& J# Z. [  G
) y, I, b" q& w: D
. _. I  J( D, P* A+ d5 J
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
. B4 M/ ~1 j7 A: o. v: ]' _  E& V* \) ^  X
4 I* q0 G& C% |" A$ |0 P

0 c$ w6 m, R" \% k: Q. ]
' S* [+ d, J( m( w% Q3 k
$ D$ t! n9 U) p$ |3 h. y9 B9 W! |: {! C  A* S1 U

" V: L- `; D: I$ C* {; M9 H5 t4 n/ |7 u4 c. H
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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