随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
: T6 q5 m/ i' o+ i+ o$ Q( I; c
/ {. B$ q0 b& l) j. ]9 Z问题
1 J# s  p/ Y# P% \6 x  Y1 j

$ x, v. n7 q6 k! d% H2 N8 X有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
- @! N% G: I/ }# _4 o0 X" d6 j# P: |
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

0 p) D3 h4 Y' V- o5 L4 B5 p本文

- R+ x% z. @$ L" Q8 T3 r, c
# v9 M) m# y& M, d+ |: }问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
6 R4 l7 _4 r% L
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
2 N# j! {: a9 Q方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
: Z6 M, i3 m) X你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

, a4 Q, z; i. e& Q首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

/ r6 ?& Y! X$ \0 f8 @++,
+-++,-+++,
& U9 ?# H$ Q$ U+ J+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
  U7 b# h- e9 o# x+ ]7 D) S( l4 D- N  L                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为




0 j* a% g7 _6 |

8 i" N+ u2 Z1 U, Z% @3 j- U9 [

8 ^8 w8 J9 k; ]0 {, k

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
3 L6 \! |$ K& X% p; e+ W-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
& Q  [* V0 F% B8 q# K, U- E, ,
7 p" ?/ x* S$ U; J3 V! `# Z% H9 R  z6 G                                                                                。
/ l& w$ O# {4 ?# |4 q
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

+ ~5 d; K" Q& v& x  c5 f6 N

2 U* S, a6 ~6 l. s4 v$ |0 i; d

% J4 j& o9 u3 f; r2 ]
$ Y. ~" _& i+ z! j

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

2 r6 A# D3 G. |% i3 [8 |- f" l7 C* b现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

  E7 |2 j, V5 d, o  P; }
情况一：  
' v1 `: n# V" L* K) O" X此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
$ [5 e) u1 \" c; b
情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
1 }3 A/ @6 x: R% s
, p9 A  C' a, _* M7 s1 E情况三：
0 Q( V. K+ L' L* C) J# g此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
2 F% t* j  U8 l9 D; S; E
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

4 _3 q1 a5 _1 O+ J# `/ ^; |由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

1 G  \& f* W) S5 S& u
8 A$ a) {1 P: i+ m0 Q  x3 k# j情况一：  
; A; S, r& A" `( k, R假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
$ H7 S+ n6 t/ h; Y5 X( O9 i- f
3 _6 G3 _( y+ l( Y- v# B2 |
, A2 K. c* A6 v1 Z# \
3 ?" {/ I9 h) l/ Z4 v
( C1 O9 `( a4 L* Q0 h" h! H. o( u
1 w, J2 z! L; U) m, W+ F5 X4 J
& f% S5 ~7 v% R) ^. Y# X: f  Z9 l这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
# j+ [2 _& i/ q% V1 n令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

  L8 ]+ H$ N  ]; ?& S& u: Y
: z7 x2 F6 V/ `8 I



这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为


+ M" ~' F% i0 K/ q7 d
0 @. a5 g* x4 _$ y0 Q8 c) ~
/ u$ |/ \% f* U. {# w& c: T
( ^9 @, M5 M9 A3 @$ u9 R! r- C* a
两边相加，并利用 、，得
; x5 q/ k' ?3 I( v, x! r

! G8 O( h8 j* E# T! c. b% N9 F# Q+ V+ G
8 o( s& F8 F: s% K+ T+ Q
7 S( T( P' W2 s+ H9 [7 y$ z0 @

若取前 c 项相加，则得





. x* {( s' z9 u- G, h
情况三：  
仿二之解法，可求得
% T- \7 J3 M$ r8 l
4 o5 p& k7 d- m, ?& O$ `4 P


% X) X. H  `' m, `/ b

* O  L1 u; a* s3 ~! f0 x0 n: C2 C$ W
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

1 V' c. Q2 B' n" C0 R% R首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
& j% H& `- \" q$ _设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
2 q. c) z8 [# N2 i6 o$ Q3 z
" v* a+ a0 o* Z+ l: c现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
% W' k" x8 V# }2 @' G! n" N1 f" X
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
& U6 G6 I; r5 f2 U' A) n

. B6 |* d" {# l# V" B1 ~


- x% a% `7 r2 n( c( f7 h
, d& f- V8 h- l* \
! ~! |4 P4 M( E" z
% l4 @' ^! O9 W2 [$ o6 ^) o7 t5 K其中  为所下注之金额。利用

8 [2 X5 |; M# b7 F6 @1 w. P5 o
0 a  w/ x+ V- n: ]9 U4 H1 [6 r
5 C5 }' ]: v. T9 r+ }6 i+ f" E3 m
7 Q, p7 b3 V* W1 u2 ?, |" |: U
! k/ i9 j' a4 o0 C' u

2 I+ \+ B# \4 F5 Q$ j- Z; C8 _% B5 }
0 Y' _8 E; E' @9 `" _可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
( E3 u; M0 s6 j- V3 Q* M3 W0 C4 v  y

5 ]$ K  _) i6 c3 g! A1 z4 U
, S8 d* O# @! D+ }; h7 I& J8 s

6 d9 K: L2 t- |8 b

2 Y% i% T' Y" s( T1 @
+ q' O# t) h2 V8 D; E( W因此可得在情况二， 时，
. k' e& j* y/ c! L


- C8 F* [% p2 g  U' A! }


' b' q' I4 @) O, @, \

而在情况三， 时，
2 n" \. y3 E- y( F: Q+ q

0 R6 P% v9 K0 z! O) g# {


& `+ b; r6 D7 ]3 R, ?/ o

7 F' u# D. N0 C# g$ H. O$ L
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
7 q- a6 p0 m) T$ p. e. v
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
+ B" X3 D) k9 v8 f. r3 K& {
附录

' o1 ]% w6 g& Z; p0 [
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为



) R( K' Z% N" e0 L  ?* {




另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！