随机赛程的最佳策略

引言
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# m# a$ n6 x& [' A7 @% U/ C/ W在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题

$ b- J) j7 v' l; i7 h
$ m+ I) L2 m- [; s  O5 d$ T有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

& F* J$ k( e9 k+ S当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

, i7 E  S3 n# |9 `; k% t3 _; O本文

* Z: W0 u6 U3 Q0 B% L2 }/ [
5 B: L' n. Z) N6 b+ A问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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/ E: P- l, T$ q% t. g方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
% ~; [5 S5 A9 H1 `  |# g方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
" _8 f' M2 O/ P3 j  Z1 b7 G你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
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++,
9 J& m! U) w$ l" v& \, `+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
9 X- L0 v- d$ F' ~. b" y在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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6 w' C! P4 A- |5 y. f5 v2 p# i% i
8 ?$ f: M4 o2 j. m  h6 W" Y



现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
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& ?, F( `- `: A) h7 e++,+-+,
$ R+ O- i% F& \+ u" D$ X-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
: ^& c$ z8 B# h6 ~! V, ,
; G( q0 a9 y' n: k* `1 |. Q+ y. Y5 }9 f' K                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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' v; p/ i/ s% L- e; w( D) M
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
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% Y% U2 n4 m! X  [# i4 k现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
- n2 X& B& {7 L% m3 V, t8 J
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
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现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

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情况一：  
. f! K; N* l, o# O4 s! O- j* X此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
0 R* B' p) Z8 e1 @! d' `此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

4 N8 Y- Z. M! i3 j! ~情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
" b# l9 w9 V3 a* W
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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  h  Y2 x% z) H' `7 T! u! H如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

) X* X, h) w- s% T! c
情况一：  
* }1 Q8 i9 e# d  u; h5 v假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
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! f5 ~4 S& w; a& o6 H0 t( w

1 q; T: Z, W  z* y


# y: \4 e; S" k4 b' T' j这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
$ c- R: @0 O+ K0 P" H5 ~% t" w9 V+ ~# U

2 |1 c8 l& J, F
# D/ ^% _) ^- U5 T- T) s
: r  q& r3 O: o
8 H& }. o, b( t
- u9 z% p/ S* i0 l2 J这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为


- e" z5 F8 @0 F. T8 k+ ]! V
: m( k- m4 C. t9 h& B7 h


两边相加，并利用 、，得


' S( V. j: U4 {3 H0 P1 h

1 T1 ~7 W' [! s& c! H0 g

若取前 c 项相加，则得



* h1 f! s6 D5 a) x3 z+ D7 E


情况三：  
仿二之解法，可求得




5 H1 R- C$ u9 K/ j
' U2 I+ {* i1 ?* ]5 W% w# l8 e* c
6 Z( q6 J8 x5 t* [9 u5 `
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
% \0 R* Z% c" Q# w8 t. ?
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
9 L- |: M( V1 {4 D9 w$ y

" T& _# h1 C4 f5 [* ^6 U定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
& ~! B( z: D% U3 S# y此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
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5 t1 g/ b+ `. M7 n4 s7 ]首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
5 i! ^0 C/ C) a& `5 Z1 h
; F6 C7 z( R% O/ \# h5 y9 Y至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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( t& L! `8 x+ J( h7 f. d


  W- A6 C" v0 C6 y8 b8 h
+ B8 M3 A# k/ B3 M  l7 `* j其中  为所下注之金额。利用
  J4 j) L( _6 {/ U$ b& o




, V8 }6 G! e0 ~5 |3 t


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但



2 W+ b9 H+ C# h9 Y3 D



0 a4 }/ Y* _* r
因此可得在情况二， 时，
; G) o$ a  ?) I* e! T$ Z
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% K$ F6 H! C1 K1 z$ D
/ Y; `# {9 q) c" }6 I' \% b8 c

8 ^, S# k2 I6 h1 D4 U3 i1 {4 ~
# h9 G3 h$ e6 R3 E) K

而在情况三， 时，





8 C* D* `9 s0 U6 J8 a& k. i
; v6 d$ r8 I- B9 ~6 w6 x3 [

$ S: s) b! R6 T' h0 m5 M但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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( `- e9 f) C+ p  M; L至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
1 ]% b, I8 y$ ?( Y

) R" V9 Q% R( G# [: Y) s在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为




5 }* G$ d6 w# O2 x: z& v
4 j( X+ A$ M. B9 [# R* F


另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！