随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题
; g) z" [9 U# I$ A. r% }

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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: w5 T2 c) V$ T本文

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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

0 F, s! o4 _0 C6 D4 O" B+ Z
' b, L8 y9 }; [! B5 I# _方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
0 g' C* ^- _2 V5 ~- ^! }( ?1 \2 }: c方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
4 J! }* b" _- g  n你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

1 D  w+ L, t2 H* J3 H; b: z, Z4 v++,
- l% e! h1 A' Z2 p. v! L+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
4 Q0 X% x  C0 r. |6 w                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
( X1 `: B8 D5 X- R
  F% y- d% ]: l$ P- F


9 x5 s) J3 N. e+ q+ F6 m



$ P. j; x9 n. \( }$ ]

8 S) a1 d6 o; Y" c0 p8 n- p现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
9 Z& p7 y/ r; u7 y8 k
" y+ l( s: j2 ^, y3 W% }5 j++,+-+,
3 s0 Z) _' n; g& u( I0 h-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
  p  |# ?# E+ o* d8 m/ A: ?                                 
$ V. R0 z7 t4 S$ X8 C, ,
                                                                                。
2 t2 K  o' j9 J1 V. H
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
7 k$ Z. q& w/ _5 `7 N


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* F) W( e" W# K$ R0 ?

9 r" o9 Y' {" V5 V最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
; H- z. F/ q0 q% O. x
* f0 z/ B; Y% p5 q& t3 [7 B现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

  P+ O1 c4 f# F% q3 x) Z' u: Q# Q现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


! @. B! ]: G# K7 I情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
; _4 ~) ?% w0 h, W此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
! \$ U* C) e" D' H( u7 A6 d
; |; w& t* s1 r9 x+ ]) `# O/ A由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
( j! n& ?& O1 R! E  m
  ~9 ?( s. I( f: l7 @
% `+ I! e4 m3 D" ?情况一：  
' Q, ]  i4 z$ f# v7 r; Z假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
" a9 h+ H. t# Z+ Z% f) o
( \0 |* i) r7 `3 i8 V) t+ V
+ y6 a0 ]  o+ E/ k! x
/ E- d/ G4 F6 @1 o2 P9 G+ x
4 Z7 i6 S* @/ C6 C
- w) n" L& O5 K) |4 l* [  d* g/ }
  _9 V3 I9 p/ B这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

7 L7 g) b; v4 q/ o( g$ o& K情况二：  
' p5 p. E8 K- h4 ], V( g+ M% h( m令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
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, ]" T0 b& ^! y9 u


: t+ Z) G8 u' i& y1 E6 Q9 J+ X
8 |+ R  u: _. l这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
' b3 g7 p- Z. c; m7 N% B4 T7 ]% Q利用p+q=1，上组方程式可改写为
6 C5 J5 }+ T+ X6 W, D: E
$ q7 H) N( C1 c& K


; a! k/ ?. ^% U1 o
6 U6 r- b8 B1 {8 d8 c
两边相加，并利用 、，得

% P# L0 J0 k, p& M# O+ @
0 b. {( q0 O, z0 `( U1 i) @' d


: H6 F( I& ~5 B8 l5 h. F9 k9 j: ]) Q
若取前 c 项相加，则得

7 t' V( S' \2 y




情况三：  
' K: @) j5 ?8 ~6 m7 U仿二之解法，可求得

" M0 z3 b! _7 m+ G4 \6 C



- B5 E& P. A3 q9 Q  Q4 ?* W2 \

& P; N& M2 u( y( L/ g2 ^保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

+ J8 T1 k% a' e, a  v- e2 B首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
% y9 p1 b( j2 K

定理：
% a$ H- O* T/ T设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
& @! \" ]0 T9 ]1 l此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

9 q/ }" R- P. G0 r6 o7 C5 W; i现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

7 ?5 a- E. U4 ^首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
6 L* J2 N/ ^$ U4 U) u- H9 M
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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8 D- n$ W, E. N+ M6 Y' c6 A% V; h

其中  为所下注之金额。利用


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: C- \: x0 ~  {- m7 W: p' v
: s: g( ]0 T: L& w2 v

可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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: b' w! W* D0 Z+ p4 U  q9 j4 M



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, D5 l( ~* }0 Y" P6 a; f5 g

因此可得在情况二， 时，
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& P8 X. s3 h* ?" v% Y

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而在情况三， 时，

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1 t8 ^; C% v4 r6 m+ G4 B; T( S% m; [6 t


' ?8 B% H/ ^* p! K' [6 L+ F但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
: b. ~6 J$ h# e5 r
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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" Y, b' A: y, i" s/ ]5 [8 j4 K附录

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8 T; U1 X" z. h1 `3 `: z. }* k在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！