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引言 # S) V" c# E8 d/ |/ B6 y2 {. s/ b
2 w/ e; C  D! b" @! b& I8 c) U) F. ?
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
2 k1 x% r9 f$ q; m5 h) e  d3 ]- N# c: [0 u
问题
; g) z" [9 U# I$ A. r% }# R6 E. S' O' O: J! T: s0 w+ X- T
5 K: [$ l( }5 u& `$ e
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? & o/ c- V. J! d3 c* b( W4 [
: a" l: ?3 a$ a; O  E. S, ~
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
) M# A1 e! m" ^+ X
: w5 T2 c) V$ T本文   ]1 R7 e; I- N1 t3 z: x" Y

# n6 |2 ?5 P/ g" E* D4 Y/ _& R% C5 Y- }+ e
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 & O& @1 W$ s6 b6 W/ q( U' F+ h
9 e! t2 Z) Z' d; K& n
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 ( {+ A1 @; x# R7 ~! R, Z* D; j$ Q

0 F, s! o4 _0 C6 D4 O" B+ Z
' b, L8 y9 }; [! B5 I# _方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) * W" L9 A1 z% Q3 t
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
0 g' C* ^- _2 V5 ~- ^! }( ?1 \2 }: c方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
4 J! }* b" _- g  n你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 $ \& o8 e& f% z  J; ]  K$ E
0 s! O  L+ l8 _! C& A" v
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 9 H& |7 i$ L; |, u# y9 a% e; u

1 D  w+ L, t2 H* J3 H; b: z, Z4 v++,
- l% e! h1 A' Z2 p. v! L+-++,-+++, 0 l3 J0 m: }5 u4 T
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
4 Q0 X% x  C0 r. |6 w                                                                                                。 0 ?! |- a/ D, I9 r" a
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
( X1 `: B8 D5 X- R
  F% y- d% ]: l$ P- F" b! X. T$ F* @/ G
4 a9 F* _4 n2 N: U2 H- m

9 x5 s) J3 N. e+ q+ F6 m' V* R  t7 w4 C7 A: e1 M* E
5 |9 O) C' w$ ?1 E9 m% l; J
' A/ e1 X2 k4 m  ?

$ P. j; x9 n. \( }$ ]9 m1 V9 h& x7 X1 E7 D1 |

8 S) a1 d6 o; Y" c0 p8 n- p现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
9 Z& p7 y/ r; u7 y8 k
" y+ l( s: j2 ^, y3 W% }5 j++,+-+,
3 s0 Z) _' n; g& u( I0 h-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) : b# r* j& O3 O' U+ W
-+-+++,-+-++-+,
  p  |# ?# E+ o* d8 m/ A: ?                                 
$ V. R0 z7 t4 S$ X8 C, , 2 F% Q# Y/ E( l" G* @8 \
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仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
7 k$ Z. q& w/ _5 `7 N1 ~! v6 s4 Y0 o, ^1 T
- S4 u" [" a% L2 I( D

% o; r0 b$ @: e( q+ {# ^5 M- v( ^/ g0 `7 j
2 g, O* T) ^0 i& Y

* F) W( e" W# K$ R0 ?6 b% P% @; W) S2 b" L5 b) ^9 M

9 r" o9 Y' {" V5 V最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
; H- z. F/ q0 q% O. x
* f0 z/ B; Y% p5 q& t3 [7 B现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
9 U3 b& x* F2 V) Z& v# F' ?3 Y" {1 G3 x6 N# U4 a0 ?8 A
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? 7 o7 X/ v- A# t

  P+ O1 c4 f# F% q3 x) Z' u: Q# Q现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 $ e" f8 i5 D3 c, }  Z' x- n
! K5 ^# o* k1 h, z0 o: [8 y

! @. B! ]: G# K7 I情况一:  6 t8 B, D& b: h1 i) o% K2 p/ I7 R7 F
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 9 s: R' z1 E# c* R  F! l
+ X5 J& D" H% Y8 ]% U! _/ n3 k
情况二:  
; _4 ~) ?% w0 h, W此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。 ' y& j9 h1 J& ?* b1 g
! Z; t0 \8 E% C: q; n  u- x
情况三: 1 L. J. X) B' w% |
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 8 K. }! G9 K+ a0 Y5 o0 p4 M
+ G: T; J$ j( l
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
! \$ U* C) e" D' H( u7 A6 d
; |; w& t* s1 r9 x+ ]) `# O/ A由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 " ~" v# o; @4 s& t4 m; Q
4 T$ L% O! V* p! ~2 I* T& U
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
( j! n& ?& O1 R! E  m
  ~9 ?( s. I( f: l7 @
% `+ I! e4 m3 D" ?情况一:  
' Q, ]  i4 z$ f# v7 r; Z假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
" a9 h+ H. t# Z+ Z% f) o
( \0 |* i) r7 `3 i8 V) t+ V
+ y6 a0 ]  o+ E/ k! x
/ E- d/ G4 F6 @1 o2 P9 G+ x
4 Z7 i6 S* @/ C6 C
- w) n" L& O5 K) |4 l* [  d* g/ }
  _9 V3 I9 p/ B这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 6 S  G) w6 i' I9 k. ^

7 L7 g) b; v4 q/ o( g$ o& K情况二:  
' p5 p. E8 K- h4 ], V( g+ M% h( m令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
. w9 q" o% R) r- [4 X0 B: d: F7 K- [, T) ^4 h% k& l

, ]" T0 b& ^! y9 u+ R. N$ i9 \( }! C( ?
( M( U, v; a1 Y- f, K. o

: t+ Z) G8 u' i& y1 E6 Q9 J+ X
8 |+ R  u: _. l这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
' b3 g7 p- Z. c; m7 N% B4 T7 ]% Q利用p+q=1,上组方程式可改写为
6 C5 J5 }+ T+ X6 W, D: E
$ q7 H) N( C1 c& K1 c( c5 _4 x# z) ?) \% i
. z( @! J6 G) p' U: u$ n; E) x; A

; a! k/ ?. ^% U1 o
6 U6 r- b8 B1 {8 d8 c: V) A% o9 y/ u2 j' X8 `
两边相加,并利用 、,得 # c/ d9 J- l+ b3 `6 ^# h

% P# L0 J0 k, p& M# O+ @
0 b. {( q0 O, z0 `( U1 i) @' d0 ?' e  [, _6 O- \1 A# }3 |) R9 O
! e( S8 \! h& M  A+ S8 ?$ S7 G

: H6 F( I& ~5 B8 l5 h. F9 k9 j: ]) Q2 j% V  c4 `& H# O0 D) f
若取前 c 项相加,则得 ) C; _1 Y% @* H- e

7 t' V( S' \2 y9 |9 X) N2 K  h( d
% v  Y1 k0 t4 h: L0 F
7 C9 X' M0 |( j! ~$ k* b
* q2 k0 i( T  J! b2 O9 s& n
6 V+ P- r, p( C& R) o, ?& X' [
情况三:  
' K: @) j5 ?8 ~6 m7 U仿二之解法,可求得 / L8 y. t# w* q) f1 e

" M0 z3 b! _7 m+ G4 \6 C3 L5 q) g* K; h' j. W* b$ V% M3 f
2 }3 }+ G8 j' D2 ?' W' |  v
" w0 ?) @2 f3 W; q$ a2 J3 S

- B5 E& P. A3 q9 Q  Q4 ?* W2 \! B, o1 n6 N1 @5 d0 X5 y; t: C& E# V

& P; N& M2 u( y( L/ g2 ^保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 / l) X3 b% x$ P% S5 ?

+ J8 T1 k% a' e, a  v- e2 B首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
% y9 p1 b( j2 K: S2 `/ l* q' t' T/ o3 \
, V5 w: O. M: u8 S5 V
定理:
% a$ H- O* T/ T设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
& @! \" ]0 T9 ]1 l此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 # I0 Q' [  p2 K, _3 O+ D

9 q/ }" R- P. G0 r6 o7 C5 W; i现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 6 i+ B$ p( y8 S; X

7 ?5 a- E. U4 ^首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
6 L* J2 N/ ^$ U4 U) u- H9 M  M3 y( `1 t1 H( P' q
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
7 E. @( n" ]6 L. z
4 C- O2 X& N7 H4 ^9 d! I7 A2 v, q/ ]* a0 l
) U) U4 y4 i& m6 S: W& h

4 k$ ~( e3 w: t4 U# W2 l4 h. |' e$ w8 V" V

8 D- n$ W, E. N+ M6 Y' c6 A% V; h- u, k4 d  }9 {- B5 _& U
- n  n& q2 G3 j! Y! J% l
其中  为所下注之金额。利用 # ~, L& z( m/ Q
4 p  I$ Y% P0 z8 y  C: o

) h2 F7 c/ N- a. B& q, j( t2 @! |  c5 B, k) t+ M3 z

+ Q  n0 b3 i9 ^! T6 _
: C- \: x0 ~  {- m7 W: p' v
: s: g( ]0 T: L& w2 v8 z& L. [- E( `" k; j
3 W/ V. q8 R  \: a1 q' `
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
, l: s, O* [- B9 W$ o
: b' w! W* D0 Z+ p4 U  q9 j4 M9 O) E. n$ }5 F! J* o. Y
2 g: D/ R2 Q! j; Y2 I
; G/ D0 w0 f$ O( p6 h

2 i& G. h  Y( j7 F& }
, D5 l( ~* }0 Y" P6 a; f5 g+ Z7 H# z5 C. p4 K9 _, \+ {' l9 b
5 X) U; J0 w7 z7 V
因此可得在情况二, 时,
; I- d; C- `* c5 B9 U+ {8 }, T4 U6 ^7 ?# y2 @0 N' A) z8 ^) u9 F

- S4 j3 X5 U$ k5 F0 S* b
& P8 X. s3 h* ?" v% Y; ^* @) K3 v* h4 ?' }  }

3 i# k* Y( t8 x: m: G# Z) }  s$ g3 W; L, ^' u$ t$ \7 w

3 e+ c7 S3 }$ @! B- R# N$ e" n$ J$ o9 C
而在情况三, 时,   _8 s* {' s) N) @1 z9 G6 S  Q# E

& E( \* _+ s4 z3 h
; u2 A' N7 t3 O5 ]" ?# q$ S4 @( G7 }; e

) I: Q/ p; g. \: S4 k+ B9 ~/ y
1 t8 ^; C% v4 r6 m+ G4 B; T( S% m; [6 t+ T! {+ w' ]- o' D. j
4 T5 T1 I, W" T2 V4 J

' ?8 B% H/ ^* p! K' [6 L+ F但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
: b. ~6 J$ h# e5 r% m4 l' C! v+ R# R3 C( Z
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
: S% U  T$ a& ~6 O
" Y, b' A: y, i" s/ ]5 [8 j4 K附录 * A7 H6 @7 T+ _' n- P+ G

6 b; {& h3 Y$ X( ?  G
8 T; U1 X" z. h1 `3 `: z. }* k在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 * c8 t- I& T) x( c/ Y
$ g+ P8 ?1 O, V/ P6 R

% Q; t* {& N7 {# x) r
/ \' }- Z$ `2 x7 h4 F9 n! g+ E2 I; b6 V* W

5 q7 d3 _# C* P1 Y9 o3 t
- K8 P" d" c; b7 Z" @+ V% }( ~3 F2 ~" Q
( p% d4 R/ b8 ]7 s- p/ J! |) t
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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