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引言
/ {" K, _/ L1 j0 G5 ]  G( ]! }3 J, J
2 }9 q- C9 `- e' u4 a在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
  F' h. {" Y! U0 m4 H5 Z  t
( P* C% B/ M+ I, u# U3 [* a  i问题
0 o5 _' j" O2 }4 G6 m8 @" {0 n$ G' f& ~7 ^* G4 g

  N9 V6 o. q( ]有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? ; E8 q  `; K! a+ I* t$ M! l
+ o; x0 F5 [' b" N% C, p- A/ h% w
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 1 M% L$ ?1 O/ r& ^8 Z1 @, u1 S

2 G& Z3 n: u  S! O4 ?本文
* c0 `+ J4 i3 C, s1 c% E/ Q, z
* _: C* t* o9 S! c6 S0 `7 T6 g$ c4 O/ u" F" M6 e
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 * ]& x# p6 S8 g  G. @: u, j/ s
: C) P9 ~- Z7 C$ Q( I% n  `/ i
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 / }3 U0 d' @1 y7 a; {

3 F8 Z! D3 z8 J, H4 [# m, t
) g. w4 L( M! U1 _9 Y方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) ( s. o( \& J( L) R
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) ( u: i! a% D3 h2 a
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
3 V) M( b" f0 @5 ]7 A; X你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
" j+ [$ O; l* g
; x6 ^. u  F+ o7 a% |首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
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9 h& l* Q# G8 }1 C++,
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+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, 1 V$ C! N/ G7 F' |
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! I$ u2 q5 p, a, m3 h1 S在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
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, ~4 K- r! N. d# _" k# ]& z9 y0 i7 a" W1 s2 x" _

; _  |9 A$ R6 G; g# ]
! n0 n0 u- P  ]0 I' M- B, F) t4 M( u

+ T8 i  b% D7 @% ^/ u& h' [& E7 \) v) U0 Z% |" ], Z

, Q% L3 B$ p" f; n  U现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
5 [$ h" O$ [" o* X8 ^) b1 a$ y. Q) K; O7 L. U
++,+-+, - x1 U1 g+ c$ o8 h" X) C
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
8 Q+ ]1 P+ ?. t& ]- a; W-+-+++,-+-++-+,
1 V  s* ?. c4 T3 h6 S: }                                 . F5 M1 Y6 g2 Z
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# o* O* x( `7 D                                                                                。
1 a: _5 T! v0 X+ ]6 \5 ^( @# a; |6 ?0 Y( i! I" e
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
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# I) d- {* A. n

3 f8 O7 h/ l  K0 N4 s6 q- m3 I+ \6 D7 n0 f; Z

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7 p3 v# d( D% q+ l0 A最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。   I+ T6 D( l5 P0 z8 B% F

5 M; q3 `$ x$ {3 M  C' y现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 % @3 U4 Y. `9 w

8 P  H  e4 D  @4 a. ^8 v& P这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
9 |' N& K0 Z; H+ L: R1 C' S) Q  t8 \0 q+ ~" ~$ ^+ a7 C7 V2 P
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
2 a, O5 m) c' S. D8 V* V
' @7 e7 l$ g2 ]* _# k! r7 c; d+ R9 h7 B% Y/ k$ I, s- `
情况一:  % V1 v2 |7 v0 T! ?/ ~
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 $ }# Y4 S6 t* Y

2 f* c) L& A  _6 @4 j情况二:  
3 a# p' D% M2 L此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
8 R7 @# T: _! a# i4 H: c% K+ ^( @" S, S" I. {: P
情况三: # X; B3 N; X& i0 q. F/ \
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
2 f) O  r5 C0 W2 c; S0 F2 ~
9 I4 `0 V# ?! [+ K9 M/ _& c现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 / C2 e* D7 X+ o7 ?1 \

6 _- s, Y% k( T  }0 ]4 M由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 * V1 `* P7 [* I" H' b9 l- A& i

& l- B/ l6 T+ ^  u' S. u3 ^% V如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 3 L7 P5 \+ h* }! Q$ e5 T
+ ]1 H& Q0 L* I3 r8 U* I

9 F. y8 E7 K4 Q1 T- M/ t情况一:  
0 Q4 G& l+ Z7 ^+ W) o  W假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
, [" J# u0 \5 ~( c& ^; _8 [$ G8 l% t9 W0 _: K

9 W% C( w9 j0 J1 H; J) `5 V: H0 v( r: t2 b( h; R3 j! a
8 C, L, ]$ J# ?7 g/ L1 Z, P

) `  G. t& {: e  s- F# P* e+ \- i
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
& P6 D. p' j& J+ m7 V, }
  M7 s$ K" p7 l/ g$ Q情况二:  
0 {+ \6 L: Z3 |令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
/ k4 L( [8 T- c' i8 X6 s2 m0 g1 O7 C: K- Z* |$ Z5 A
2 O+ q: f( o3 j+ v( Y

3 Y5 z) o. L1 I$ {( {% k- N" \& `( h- b8 i; ^

' S7 ]- j; K) |7 G& [7 a, Y$ b7 k6 e+ [2 t  _1 h
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 * }6 s& v; a5 a/ ]8 x: O
利用p+q=1,上组方程式可改写为 & S) N0 ?- }  y& w+ _
# b9 F7 }2 j7 j
5 z$ C8 s  I8 Q# [

6 h6 u* {9 V' A
% ]+ h1 P& [2 j  }* R2 z
5 g, P' y( L/ Y
8 K( d* A4 N) F- G: e* w- m. a两边相加,并利用 、,得
# n- n% S* k& ~2 y& _2 z3 [: ?
  f2 K+ ~7 q3 x8 u1 F1 k4 l) T3 g* p) Y5 Q
0 h1 J* `3 Z( t8 w( N9 |; S

8 a" Q4 |3 s2 @# w0 }% h9 Y+ i, w% `. z; ^& K& n' l2 I
% K" q8 Z5 C- t; K, J
若取前 c 项相加,则得 % t( H* s3 I1 p5 e' b2 g. j- R
5 e" c7 P2 P* s5 E% z7 o

6 q& y. m5 Z4 b8 ^7 [
( I# I' T& }. r! j* r( ~% `
' l) c- Z' g7 M$ u! m* k! t+ x' e
1 T5 t1 X, @/ c- T( j+ v" J1 U2 W; `, `" W9 z5 X9 S2 s! J
情况三:  - I) S; U( u  L8 z! @  u: q
仿二之解法,可求得 ; v- o6 [4 A5 e# q6 _, X
2 W3 j+ A' X2 R5 m+ r! W( z5 v
; v6 S, O9 L, @- I

( ?8 W/ h1 D! r1 ?( d2 ?. v' E( f1 A: |/ l3 {) Q# j

, x) f' C1 j" v0 c6 ]4 i* R, E# S; f% f9 o! |
/ o1 c+ E1 o+ Q4 H& F6 @
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
7 Y: {4 ~8 ]8 B8 ^/ L! k: J- n. ^5 J, U* D- S
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
% R: d- z& O/ _2 d9 V- w8 |
5 c' k, O  b8 `$ D
( ?; p  Y7 L: P! a定理: 9 x7 [' e( [0 \, o6 @8 P2 p
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 # c$ ]1 ^) B, ?: s2 L0 X
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 5 O( o% r8 p" h- K, E* |

" W1 t' ~5 N& q1 }3 i  v现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
6 z$ j! j6 g/ n" A0 g' x1 t4 y
) x" X. Z/ P. i; u4 w首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
/ u( b% U' Y" k  f, U, o0 J8 J* Y# _- G+ F: ]% K! f% x
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 5 V: N4 E; `+ ^7 W

* Y1 v1 Q& \) E3 M; J/ V5 \7 K& j, A5 C
" K+ C, T, d8 N# I$ @0 r: Z+ |: \
9 A! E( E1 S: k
/ ^! H7 [" @0 D) S! e' M

! C3 M, M; X6 p0 G' y3 k
+ o0 n' k# f  S1 B
& R" s' X6 L  |其中  为所下注之金额。利用 ; I/ |5 M3 r' f3 ^

' f# d- K& Q- S. ?& E) Q; H
4 T7 ~( x4 T3 e6 ?6 p* C* x# L, Z9 E( I0 D) R8 [

- K  H6 H; n; H7 v7 w  O0 I$ t8 u. U
+ j1 e1 f, v: E/ T2 l& k% b0 u

8 H6 A4 }+ i% x' d$ ^% x
0 Z) C  V) @9 W" A" Y$ h可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 , V! c" s! H  @# ~2 f+ {2 ?% z( [

5 ?2 X& M8 [% ]0 C7 R8 J8 {
0 o- @& U7 k8 q* l1 Q' e- U( R' K% U& I) b3 t$ p+ H
: A7 T4 k, F  @% k3 s; |* S' R

" `/ Y: G( D; y: f* D* o: ^( \' E4 v
3 X4 i! Y- V' h% b  Z! `! h1 t$ Z
& a- I1 i$ {# J; J
因此可得在情况二, 时,
6 G/ x# I, U0 R. {! k
$ m; `1 }. m( ^- b! I- C. e! s. D$ E+ {+ r$ i/ [1 Y
! D* [' k: U% [

% G3 a6 ^# b  U* X# I5 Q9 u
4 S5 c2 G  ]3 A
3 u3 ~, N3 Z( t+ p
/ ^4 A2 u4 z% d  }' P
3 t4 |: ^% D' P: y* E4 P而在情况三, 时,   j( R8 r$ `; z  ?/ e
4 r" `( s& D8 Z: K! M

/ j2 J3 z" w( s3 T0 H7 H/ X/ ^" E) w; a$ H

5 q, X) w; j! @  v: ^) J4 A# {7 f
; D/ H/ u& _/ f/ l4 S6 l/ x4 V: U' c4 T- ~9 ]0 ]7 O% X

1 |% r' D  A( b( X( v) r" N. L. k& N. y! W: z: H# z
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
+ i( F! }. u8 @( A2 I
8 a8 T# f$ J. p  Z9 I/ R' c- z至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
- h2 c1 u! D. R! L( J9 n+ W0 }8 S
0 \. w2 e: Y( f7 u; z, }4 B附录 % V1 N! d( Y( L* m" N

; `8 S* z, {, U8 h8 D/ [/ B3 [& [% y7 b) v* X. v
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 . S7 u5 f: O9 B* ?+ t2 ]. x

0 x" V9 G0 t/ `7 E
9 m& k7 V9 B# K. A3 Q- ~  }7 C
5 \. x3 Z0 w- _! c9 ^% a6 L% a5 j7 U( @

; t5 L$ N& b% H0 N, F5 \' n0 J; N4 V8 G
* C/ Z% j+ e# e8 }2 t& y

  ^' F4 i' H1 n$ F! J1 K+ ^另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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