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引言
+ Q* ^: z, q' Z% Y: Y0 ]# T" H, b& V, f8 Y* a! T
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
' ~" q. l2 J0 P4 T" W; b6 }4 i, Z0 @! r, @
问题
' X( P+ }5 K# M9 b8 a
! g, t& z- w) K* F6 @6 ^# K+ l+ L" u: [7 d% L0 F4 _) t, w
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? 6 i  v5 S; \  O) V( Z  ?

8 t* ~5 R/ r* C当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 & D5 q. S; E, N3 i7 M1 L' c3 Q; R
+ a- s/ G" t: ]! G
本文 6 o5 B6 p; _4 m+ f* w

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& v4 g+ f* f4 \( Y" E( A问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
8 l6 k- h* s2 A1 a) m- ~+ |9 g1 m, \
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 " d; r+ g( u$ G0 c6 [+ C1 P
: x" r4 R5 S5 G

6 u" E! T* G9 ]8 K" E- H* r方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) . R$ v6 P, d  o% y# ^8 K) r, z
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) : D- ^4 o' u; j: e- Q# w+ Q
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) 1 ?3 Y  G* p. c1 {
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 " @: Y3 q; o4 _& a

+ F2 F! o% b9 }8 q/ |, M1 a, z% q首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 4 @' ~5 E4 o0 K4 v: J
2 t4 o9 p: j: Z/ O5 Q- _
++,
( W: C9 R$ w. v0 n+-++,-+++,
: u# G+ @+ Y# Z1 H+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, , M( d+ z( A  U# s& M
                                                                                                。 ! X# {, N5 P/ s1 s3 s& Z7 _& u
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 ; H7 f, X1 J. O3 R% P
/ o% F8 H* g8 r  I3 h; a

% m6 h: k4 m0 t6 D9 r2 Q
- w; y  T# J, i& k1 i
2 s" U/ h; D2 ^- q" X7 h# Y! g) U2 Q, c
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7 B8 H; I. A( `  ~
5 @1 J  l2 u( Y6 k: B* F
1 z* L7 b" f$ u/ g+ S8 s
6 p  ~( Q4 q& A# z' n: q- A现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 + C' H: u; ~; Q6 w

) T/ T# H4 Z& T, ?++,+-+,
" ]- b( e* W7 M' N  D) |3 _5 I: b4 K-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
7 q) r' v8 O- v-+-+++,-+-++-+, 7 M8 q7 t$ u) S$ A* S7 Y8 L
                                 
' I0 }/ J; i4 S' o$ a9 c0 H) n, ,
6 \- x+ v5 F0 y" d& n                                                                                。
4 s2 H/ E; R4 e6 a$ |) V# D. I$ m! e6 V* H+ E
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 , e  c5 m5 U* t* G0 m  `" y

) }; z# Q- S6 B' p
, T9 e) t% g6 ~  f- l( w  L7 v2 _
$ n: q2 f) z$ F! m  P& o3 w8 r
. U( b, Q9 V+ e/ {5 r6 u
! u1 R" \  P9 Q: ~: |! x9 }" j
! T1 i: I4 b9 w9 f9 W0 k0 F: L
- j6 }, Y. u3 }( H: m/ H& S
4 G- w/ b# K. s1 V) i. s' Z+ S最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 7 @+ k1 B9 x' q, S
; n  B; ^* M$ X* B  G( g( ]4 h
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 ) K9 S' B5 \* V8 f: d" O  b9 ]/ }* u

) L& w1 C* O  a: k4 S; p  p这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
0 `! Q9 \# K$ q4 ~5 L) ]+ x
: k+ ~6 B, l1 `- s+ o现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
0 u4 o/ _, O, H% B5 ^9 w6 u
& X4 t% x( f. l7 d/ f) V0 ~4 i& n0 P& Q
情况一:  
" u# J  L  K+ {此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
" P$ O( f5 {4 Y' J  g
: L, G/ [, \. e- H+ I3 d情况二:  6 e4 e* E: v- q% ?) y; }- b
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
" r' f0 R/ |  Y" E+ V
( B  T0 n' V2 {" U; W1 P情况三: # P) X) ?4 u* g1 l8 q$ a6 C
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 , o: d' w1 b* s& {0 d  Z
: s) T8 i/ |% U' M1 D) S$ X
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
9 Q; [: p9 m3 T9 l& A$ d1 S' S' q7 \& l4 r
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 6 I; q" R. A, u9 L7 l1 @

2 A- Z& f5 o  n6 C! S" F如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
, V6 O3 _  M) J# W8 l  g; _! f4 Y- X  {# c
# P9 l& Y4 i" X  q4 v
情况一:  
' e/ ?# D  t  V3 w假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
* x* _- P" E9 g1 g3 T% g2 n5 N5 [) k
2 P! U! y& l4 ^5 h/ m
- v  H' p, B% E" k# u3 g

* L+ @! _2 `: j3 h% D7 k) C# x

& i- v& r9 U7 e这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
0 F  C1 y1 y* X5 v3 n) ~3 g0 w0 W, v
情况二:  
1 V* F8 c8 f9 C; r  ~令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
' y! \9 R: |& {' s+ ~; b8 n) l& D" P) G# ^$ D

3 g7 ]0 a4 |' i* V+ I- w; X
) l+ R" K9 ]/ J# v. q3 \* M; x2 c# L# h$ p+ {+ Y4 e4 ]0 S

, n8 U, }3 v- O7 G$ o" E* t
$ Y0 T: i1 v. f# g6 h0 o# K这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
5 U& u2 u2 X' q9 N, q% x  X& w/ g' L利用p+q=1,上组方程式可改写为 , [! I6 m& r% a: c
8 W/ D' P& p+ H- u* b( y9 n
1 X: p- X4 Y" g! z2 d4 H
' i7 x  y: C: q8 J
( ^2 j, `8 E+ a/ H/ d; m

; k9 W9 {- |" O) d* Q, o" A+ ?. K* B" {- E: X
两边相加,并利用 、,得 ; h4 I% a$ q0 j: Z7 w( h" z" Y6 R
" `4 y" s1 [2 m0 t

& K( y/ T* V& o# h6 c: G
, F: A/ f6 B) P! W7 \  q
" x1 V* X  J. A$ i, J! p0 z3 c- w. M, H4 v4 b7 E' v

+ |+ d3 S& t# s+ n若取前 c 项相加,则得 % N2 Z2 G3 g; }: n1 ~' E9 k
3 p' E+ Y1 ^$ l5 p# t7 n  A
. `) O: |+ K; V* z  c1 ]4 l

1 j7 I) C1 `$ h- {8 k& f* X2 o% n$ t% A0 |" P# w( ~

- ]; h1 W5 h% u5 @
" w) |& ~) I2 \  C; m情况三:  * B' p2 z7 k  Y0 ^$ e* p
仿二之解法,可求得 . T% P' k9 T; r/ z% h& A) ~0 q  b

2 J$ p! V0 K( ]+ {$ y6 ~) m7 z6 ?4 C# {3 n* l

7 u+ I! R5 a! [  W5 M% W
: T: o9 f, O) X! r2 q1 M; v8 k& p) E9 S- S# \% A
5 w- n$ }* f" _% |

# k9 \. J. {6 V0 i, v2 Z8 }, y保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
7 z- z6 L7 Q5 Y: v" S0 x$ C: c3 r1 q, H  E1 J
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
, G$ S* ~$ ]0 O- K, j$ r1 P6 V% v" L
1 Q! ~2 `" L/ ]9 O! r9 m! M0 `4 m
定理: ( Z4 [0 T! w1 Y1 [
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
' T" _  c9 F# Q2 j( _% s% b此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
1 {2 R+ t6 R* }( f
  I+ Y+ d7 X! ^8 [  B现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 * X! K: r& f5 n6 f! [
( M1 }* x* ]' I' q
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 4 T6 g: k; ~  a- `6 ]2 _3 T5 [

0 f+ j- ~( F5 ^; e- M至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
3 }; o  Q9 S6 X
+ K7 f5 x- h, f1 U; |
9 ^6 u" Y1 d6 x5 O+ {0 z+ J# s, r8 w/ ?7 C7 F* G# V7 r
. b, H7 G7 ?$ P
' d0 ]! W/ F+ C1 L6 P# S

1 s3 L& r, C% O
( D9 F. l8 ]- m. _) O6 |/ |4 a* U6 s0 q( L% f& L
其中  为所下注之金额。利用 - ]9 i% \- T& H# w) h; R2 s
4 i% A2 A8 q8 T' n" S* F- `
$ o( m  M+ q/ l( Z$ W( o. `
1 A8 m( n' f( h  p4 e

3 x0 j+ d! S+ S7 ~; ]- S) [
  ^3 t4 i' s4 \, T
8 U9 o5 o$ M) K  V9 L; l$ T
# ^* R, `. Z3 h  b: J
# g  g8 ~9 Z$ ^7 M8 y7 n, i可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 ) n9 E% R/ W( B0 y# V+ g/ m4 t

2 g) v1 j" V3 m5 l3 O2 ?/ k$ t
6 B2 d1 g1 P9 l+ {  k. P+ @, v7 r1 a( Q; }; v9 e# g- V* o; c. J- U
' g. p, z9 l' N/ D4 O0 v

/ v# c1 z* g$ @+ |% j
3 Q- J; Z$ k8 z* ~+ e4 q  ]9 i4 J* f% ?/ x1 n2 [1 c: z" c
* D/ Z* D8 h  t6 }
因此可得在情况二, 时,
4 c8 F) Y8 f1 K* A- Q  C# {$ e
4 ]5 U2 S1 E3 h$ v/ }* {
3 [! H- e" ~5 X
* E+ P. N3 a3 g9 U, J! p/ q8 v( ]; \; @, H; u5 o

2 x- B% T7 b% k" f
% B' B! F( J1 W4 K  |
! N6 c) p4 o4 n! I
, w$ O7 J# i+ A而在情况三, 时, 4 X. I2 m+ ^4 u2 p
: T2 j0 g- n- r5 k$ M

1 C+ F( ~: d7 Y* V# ?$ N2 t
) g" Q, P& S( l! h% o& C- Z" J3 {. N! B# ^7 [, |  d

* V' W# J. t/ \  \) h& H
# y, g2 q. `# y& J& @
! n9 F0 @; _% k9 ]! `
1 g: ^  d' V9 K" A/ u3 l* ^3 \但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 ' [( N7 ~" U5 ?8 A) p$ j. A' o

% p8 l& l7 x; e( Z至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
: W/ l5 N, ~0 V" E5 N
$ f( I7 O1 E. K" r6 T! l附录 ) Q, |& T# L7 h

3 x. [# M& N" w% x" h
5 j  H2 O) w! b. j在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 ( H4 H2 Z2 W; j; Y+ K/ r. `5 c( O3 V

1 }& B6 X: a, D! L7 t! N
% R" Y7 ]  |6 H9 @: h1 N7 R2 S
. @3 g; W& A1 @) Y: P1 A
) K' d7 J- a3 O2 y
( T4 X8 }& x- f5 T
0 c2 k& }* V0 k/ i
# U5 n0 }& b$ t* H- N/ f; k; U9 A7 s- _5 K. _
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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