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引言 9 \5 j8 P" ^! o5 y
6 f& Y- R! x" s+ n4 A. Z
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 7 Q0 y  j! y6 b) H9 w. `( E8 X

1 B; I( r* j  X6 j& i问题
0 P9 D2 Q7 H! {3 [  D: _6 k3 C- t. |. `9 P& _' j6 W

5 u8 q% z' c/ O, h% H9 o有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? 7 M/ O. H4 c9 v; b  W! K+ d

" g# L! q  C+ ]3 k" C1 N( V当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 3 q# v+ k6 t$ t* F! O& u
- ^& E, P; M9 Y. v  b( W; v) `
本文 5 Z' N/ I# v) I
$ q# w' {+ O" m$ z$ c& ^2 W( t- e

0 N+ c8 K' Y: m! C问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 8 m" U5 w% \+ K0 B! R
' Q: X9 f: _. m$ B9 u: f8 V9 O
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 1 X$ X8 s3 O$ E3 U/ `* |

) V2 p+ w, v8 z3 {8 I% d1 t
2 P$ R! g/ h8 n方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) ( B6 x8 w4 L# n' S2 `
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) " Y, O$ @: @* l% u) s. L
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)   ^4 P- z: K: x% K! _) }% w
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
+ d! u! Z; s2 Z. k  ~
4 R) _  [5 G! _- M首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
- v( V1 t2 I3 e, q# z) @
0 D+ s. t: U5 z" p; d++,
2 U* b; \7 \; _8 O+-++,-+++,
: U, F: P3 U7 J( _) g# R9 n9 _4 R1 Z+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
. G5 o; C. ~1 u% F: X                                                                                                。 , ^% B' X' b8 `1 y2 x8 d
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 : s6 w+ h- D  b8 O: b: Z

" v. d3 o5 G& Y7 w7 `8 c, U4 f+ x; |+ r
  X: P$ a- O( f3 _! d; Y, A* Q
  _2 {7 z  ]& T7 q- }: \& |( E4 U
, C4 k& o# h" @
' i/ i% U/ t3 S$ e

( N& E! b* }! L! K% L- j4 X% u3 u& S) G& f2 g
! v; \. H6 P1 s9 L2 s3 _3 p
9 J9 O0 O0 B5 S
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 0 `- {9 j4 ]  M

, P' y2 P' ~; K% s3 v3 _1 n; z++,+-+, 1 T3 p1 A  Q5 C! _) Z
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
# }" A0 g+ C# F" ]$ {$ C-+-+++,-+-++-+, 9 B* W* Q/ f- q4 P
                                 
0 R1 D5 [: Y' z, , + Q' R+ B, Y1 |1 a& L+ h( t  u
                                                                                。
/ t, M; g7 |8 `6 z7 g4 R- z# i
2 ]0 Y% r9 f( s% ?; I仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
3 V% I. r% E6 ]+ D7 N+ q. P( t
/ h( J# r4 G6 r4 t
1 y5 b# @& T7 y& W
, j) G+ j/ ]8 D- r1 E
' S: G& H& R0 \0 ]% \
8 P7 W) `+ V) ?3 w  r0 r# ~
3 u8 N# A- I3 }0 j9 g3 U# e* t; I+ ~: u8 I  D9 b4 q% S1 J( x
2 I3 W- @! `+ }6 o* b6 ^3 H
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 1 E( ~/ {8 ?& E; Y2 q
  ~& c* z3 t; A, g* Q
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 - a. q* q/ S; h' m

* {+ A& G; J$ B5 U# e% j这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
. g0 |- I  I- l2 c8 s/ c: i
: i7 O" k$ E$ }6 X: f$ g8 E现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 - K; ^  }% p7 z1 ?; h8 l
  s* S% D6 K, j2 _0 {% P
' O& s3 ?9 A- m5 q( o6 W) `
情况一:  ( Q: i4 N2 W4 T- q( @" l# L$ e
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 , }/ i2 c' r6 x+ t, S% D- ]

. [$ O) u$ T7 u! ]0 R4 Q8 c情况二:  / j/ d- m* s0 v( s$ m
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
( O1 G8 Z) l( \( H
, O( o1 h0 p# `+ q3 r情况三: ) h/ D4 w$ p3 J" R5 x, e
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
2 ^( c+ f. i9 ~; [: f. O2 o6 S3 V  m+ w) r) Y$ K3 x: E; b" _
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
' t1 E! Q7 o7 G& @( B3 L  k+ u8 ^. |
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 6 q$ r" u8 Z2 N7 Z

  A* }8 m0 ]+ ^  G: A6 s如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
" z  T' ?4 A: Y. [7 [5 `# g  y4 g& f9 b& d4 g; `
8 J: Z3 V" m: U3 G, L8 C2 A, {
情况一:  : h  v  }6 Z: s' y% U) M& ~
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
8 y* j9 D  [5 R/ t: I" y
. r2 l$ Y5 R  d/ m! C' D( B  o
  ^) v" P! o. p9 m9 q" V3 D! {
5 k6 V- c/ G8 N" U0 v
! j5 Y( T% r3 C# k/ a8 Q: t' a/ Q+ z" _& j2 `
/ Q& a9 w3 q% T" R2 q3 L
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
+ F$ x$ |, U! r  ]3 @# S/ |6 F3 z+ A' I
9 K, f2 W% |! N' m5 A情况二:  
9 c% z0 p- e- j9 v0 p! J, c令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
, o3 r; R8 {$ K8 ?. ^' u: ^3 D& \7 F, q* z2 X$ \

$ U6 i6 D0 i, F: Y$ `& G/ I9 c& x, @% D# y$ ?1 ?
* J' y/ c. @* c& K  H6 y% o" \
7 b/ r2 U* X0 H9 m2 Q: g% y

$ w/ X3 N$ q; `! `. s这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
0 w0 R/ v! [3 a/ g# i利用p+q=1,上组方程式可改写为
5 _* X; q7 s+ N& |1 D: j# {% O! d% D( a

+ t1 F- r. c. P! E9 N/ v2 D& c- _1 m; O2 X

& P: i0 e1 X4 s; {; u
/ |. ?6 `3 [- w
9 g0 I" `' N# w  \两边相加,并利用 、,得
) v! r" T$ n' P3 x2 w  x$ y
2 Y( S' B) a2 M) M. }; ]1 r6 j& {9 U) o% c- m: e& f$ h
/ O$ M8 U4 c0 C9 U, X9 ?0 S9 I1 ~
6 g; V: N# k' A
  b8 W  [% T, L9 f& ], j
2 M4 b/ K$ B3 C) \: G$ t* U- p6 l: i7 n
若取前 c 项相加,则得 8 v! q# t& Y, |; ~3 H" j0 z

1 R4 d3 d9 U$ \/ B
- u# d7 V/ G* Z, f; g" ]3 F3 d) K* _) F' v& _0 F
; U9 D/ k; X+ J4 M

/ k6 Z" @! i* C6 B/ {% H9 M4 k& g3 ]" l2 S  C- H) R; N
情况三:  $ d) p3 c$ f: t% t& A8 Z2 l0 F
仿二之解法,可求得
4 r& e4 n$ z& X, g: Y' o6 t7 I; _( o8 n* U5 S/ d% S4 @

# z# N0 C9 Y% g7 u  l1 ^9 ~9 x. b2 f' ~$ _% ^% I0 q2 G

9 }6 O2 i. ~1 a! K  T' N1 `
3 B+ {5 o3 _' l5 t& u8 o7 f& C
+ b! e9 K" G% {
' ~, g$ Z$ N% T% z保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
9 q9 E: ^' [/ {% Y& ~4 B0 Q* j  Y$ T) \! l- M
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
7 ?+ v! D0 B4 J; c
1 ^6 z6 k" B# Y2 [* R
0 s" k& @9 L+ i; g定理: $ N. |: E" \+ p' X  V5 s5 x
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
  C* ?0 U* P6 a0 S7 A此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
6 e( K( ~" S9 h, K
( e9 R1 [& i( k' ^' a8 ^& t9 I现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
$ ]7 w. Y0 _( I6 z  ^
0 _/ m& i7 M1 P3 `: E6 f0 s2 i! H1 r首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 - ?9 Z: r" d5 ?5 Q- a
. G0 r6 c, x& `3 b8 Y) r
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 ' O. b$ p2 o* F5 f* H
- R6 e9 t  _0 X  C9 n
5 C' x' G5 n1 `0 K2 d, h

. W$ e4 D* @0 c# X4 E: m2 ^" H2 P9 ~2 O9 z

. J$ Y. ~6 r- a* P% {0 {& f: `- Q1 s# V- s. ^5 z' j
0 H! _& y) m2 Q' W5 U

1 V. `0 b2 ]  o1 l' Q其中  为所下注之金额。利用
* T% K' v# o( s8 Z. ^4 B! j' D8 u0 p1 v
  t6 `- }* u9 S

- I: C  L5 m* g/ |$ Y3 S5 L$ v' O! w# a) ~4 N8 e0 P9 B' U

! s6 O/ j5 N# v, @0 k' N
& k: A; B3 M+ {8 n: I% ?) R- u2 T

$ V" D6 Y! S% q. [1 `可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
, I8 L7 p4 P2 K2 o! p4 E  F; ~2 e# r
( A! S! ~( E& `3 c3 c& Q9 ?
1 N7 J* p5 a2 y3 v' v, f1 p7 r4 g

6 D: d2 I6 m8 g  }
/ y/ d+ n+ j: r/ O6 M' Q$ q* `8 h( [9 f. K! R

3 q" D7 l/ m7 `' `# A# L) Z' Y' E9 s4 B3 f
因此可得在情况二, 时, 0 L8 p" a6 d. g1 [$ c0 L7 |& A
% l6 |1 ^* @$ ^" e( g* A
$ U, n  _! x" v! b# _" ~& u

2 u# }( F9 f2 D4 t- O
- K' Y1 b* G" [$ S0 y4 [9 h
! a- i% M* `# y4 ~# c
0 z( |6 m7 h/ y" d& {
  @  Y/ x, H) u3 U% y7 `. P) N* g  |  f, p6 T
而在情况三, 时, 4 d/ |8 ]  l  {' y& b9 F
) a& E- H/ p1 M3 z3 n

# E2 C, y3 A8 h6 H; \% x5 i' `+ A* b/ p9 ]* w1 P7 c1 v# p

  E( W: p- s3 s; s! |" ~" N7 H5 ]+ H7 ]/ _+ r- r
( ^6 k  e+ y+ p+ _% X' }
+ f9 C- v% D' J8 n1 |% K
, b5 d. `2 @" J+ u! E
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 % _1 W% W6 _) a$ Y9 e

( \/ r7 u2 f3 y+ c; t. n5 t3 ~至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 & `) J) r3 U* P) l# Z. }

+ @* b, j3 c7 v- F, h% \附录 $ M/ q0 {. e6 g+ a  a; _! t0 B
" c3 T+ @' C& ?) }

4 i" L& E3 T2 {5 \在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 ' h; T  y7 Z9 r* a  E

4 E1 c/ h1 \  ]* I2 y7 S; n2 C& @
4 R& F5 W) t4 A7 d: e+ @0 z4 n& W, @+ @2 x1 b
- O4 o& g& b% a% }5 s( `
7 _: E: s, n) G4 F$ H6 _( F2 y

" [$ r, A5 k$ B" _- M! T# f! i! ]# Z; h& m3 A

3 g' ^6 u6 R) T% y  Y( _' ]0 g6 r4 Q! b另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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