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引言 / j2 a  ]9 p  G* W# s

1 ^4 v5 Z: z$ F' d/ j% U/ k在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 ' T: t5 |1 Y& j1 Y# j% m

$ v6 C' B2 Q+ x. `问题 6 Y2 A% p4 h% [& w  K! v  A2 ^  p

2 W- L7 m0 o: ~' D
8 R; A7 t: Y2 R& `* g$ z有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
, d; ^4 K2 h6 i7 ~+ n# g/ \4 o' L" q8 m
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 1 n2 Y0 h8 e, V- E
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本文 9 O2 l: z3 `$ E% Q% X
6 u  m  A# m2 k* r, ?2 x$ s  S

+ Z0 ?2 o9 }+ E: X$ h$ J1 g3 m问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
' b# @3 v, ?- m( N) q, ]  ~" D, k- ^' a( v' }
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 9 T2 ]4 v* {  W$ ?3 i
- p5 \/ G- Z) T3 I% ]9 S' f, o# P* @

$ X! P' G& u, F# y; _' T方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
- T+ z' q  _' B, e方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
, N) ?  b" f4 U" m9 F方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
5 R* b" i% v8 D3 I你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 " A- L% d1 D- j4 {

6 e! w0 x9 M( G' g首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
; u/ \! [9 \$ m0 s" N# S0 Q8 V, a5 a* ^( U) E1 T7 S; e
++, , B2 m, K; \0 `9 A# p: f3 V
+-++,-+++, 3 d5 f9 A2 ]5 j
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, * O; w! a  j* N$ d, W1 w9 p
                                                                                                。 ! g5 v# b% L/ d- R! L! x, A
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
0 f  L8 e# p7 x" _
9 r: L- j" _$ K: |0 R# K/ D; e/ e, M8 s

4 V% ^9 X  @, s
; S  ?9 s1 ~0 k* |: ~& O/ {( C! S, m$ y! d  t% X6 J

0 ?2 m" b- H' }- N: w0 E+ r# A' G& M

* f4 P  O8 ?! k5 G  {+ e' Y0 ]- ?9 T6 O
" S( k$ w& h& Y; M% Y
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
. L# s* k8 w) {' w1 u! {3 W# l
, S4 N" X; }; X++,+-+,
; j; t  b$ p. c4 r" n8 a6 F-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
* O2 \4 n+ l5 z( n-+-+++,-+-++-+, ) ~! o  N; ^3 `+ i0 w: ^! X
                                 1 T6 [% y/ _% Q
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7 h1 e; v; @! j' [仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 0 b  f) [: Y$ E5 l. I
7 ^4 _2 q$ V+ C7 c) T0 Y; {) G, E) @

2 }8 _. B( \( B" A
9 r  J3 B6 }* }- K8 G6 X
* G; q4 W; X9 K  m7 w1 H
) u5 o" [/ A% z1 g/ |2 w! }  N. A% B% p) x

) ?6 t3 G/ `2 T! I" G/ D
' `9 a) f& c. {2 x& K$ W最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 ' W. Z4 I0 K, c. F
5 P/ e3 k& \3 p+ T  M
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 ; W& @8 l. w. i2 F3 B+ ~
) ~7 s1 A* f5 v
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? 7 s7 g! S) N. ?4 {2 P

8 X* j7 X7 O' m( v现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 ) r* b, m0 r1 T; n! v  I

/ N& y8 P  d0 p7 R" I. @0 {2 ?5 F; ^( A/ W4 f, L
情况一:  
9 `. _# j0 P/ ~1 J8 e* {' t+ R  e9 b此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 ) j9 s& y" h# n( l7 X9 c! G

  V* d6 [+ \3 M& E- F# q1 O情况二:    k; u( I# c- P$ [, `8 Q1 B
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
8 J$ n3 p* i0 A. \8 {4 D- {& v, W3 I  G5 `, b& w: H
情况三:
" D; c! I: O, s' C此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
2 J1 k( G) S2 R8 R7 F- ~% n1 V( J+ u# T  w3 _! D& O3 O: v
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 ! a8 Z1 u9 F5 _! T/ f

9 B* E. j5 Q- H2 D2 J. ]由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 % K% Z/ t# a1 E' k9 j9 e7 f& `

, A2 n0 x4 u6 S2 Y( O+ G7 H如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 % i  E" v" H5 r8 k$ J

9 O- f, U* ]: j0 p7 {& i0 d
; q( H, X1 w* X6 Z% g2 `- T情况一:  & x9 U* z0 h5 d
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
5 R0 l# f; f& T* x- x' A1 B( `: t5 o: u+ _6 C; l6 O

5 T  C3 M2 q. [6 U. r+ @2 v, c& A5 s6 c! X$ u7 D" n
) V: W* J6 w3 [( t, f

% c( R' d# c4 x7 N5 t" w, ?9 U
  ?" I) H3 F; ?/ y! p7 q; e+ Y这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
* e3 N' f; A5 z
7 N2 u5 n! _' `; [) _  c情况二:  7 D4 z3 d% ~0 c* Y" i* ~, \
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
7 E& s* [+ G8 B9 e5 Y; |  v$ I5 P3 Y) c6 N; }; z
  |2 I# Y- J/ o3 h) N

9 L; m7 [3 ^% R; o( I- w9 h# J0 [. C2 X# B0 m

3 Z# z: A& P) h% z1 p# O& U0 ]6 V2 q# x, _0 ^; ~6 `
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 % Q2 ~! T# Y( u4 Y5 N4 {+ O. [. {
利用p+q=1,上组方程式可改写为 ; t9 G) h; w  i' E! I

5 f% v# k+ H- z- K; ^- C  ^: \3 O
! f; }# J' O9 h6 O% X/ I$ Y
4 x  U# m5 K% K
7 ?4 Y7 u/ N! b3 v! N2 X
5 k$ k* `( m: `. L6 |8 x  o2 E3 V5 c5 l
两边相加,并利用 、,得
  W; {( s/ ?' a) c0 a& U  v! [, {- [) D; S2 u5 e

( ^9 a2 b* e; w9 ^$ b. n+ f& Z* ~  C; r9 F

. C* ~2 h# {  \+ q( r) U! L" Z0 `4 v6 m. ~$ l

- R& S4 i* Y+ c若取前 c 项相加,则得 / Y" C/ i' @& l5 b: x0 [4 _9 ^, N
; M! X% O" l( H, u( B$ `& K/ D
. J" Y* o( m# q6 n
5 t6 W. r; C/ Y
! h: Q8 X  N" I& K0 C, x
  V9 m: p9 a6 @, g6 o) g

0 j3 |& S. V1 Z% }( K) o/ P) V情况三:  9 @- r3 Y9 H0 Q/ I4 t3 g5 @
仿二之解法,可求得 4 p% `5 a7 V* K8 w# p
" Z3 R' y* H8 `
3 r9 R# k7 g8 M2 s: C( `5 V4 c  G

  C  X7 t/ w- \" o8 n
" r' h$ G1 \" K6 z8 N) j
; p7 p4 l' p9 Q7 t/ S2 q2 i  G3 z5 q4 x1 ?  w- A5 i' @
; l  L. W0 {% ^) z6 f
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
4 j# L' P6 ^# T3 Q( n* T) R4 E, M
( L! E* I  w2 Q首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 6 m  w2 b. m! y# X3 i' G+ X

5 G( N5 i+ s# e( y/ F4 ]3 {' D/ v9 u; ?+ C3 R" l
定理: ) g( {3 j4 b  G  p2 Z
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
) p8 d8 i) v8 S/ J; \' h' B此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
+ r+ b0 t6 {, ]% d3 z; f  g  v  l! m1 ?
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 - ~+ w; S: z! y
4 V7 A4 X( G) Y9 c: j. f; q
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
4 e6 `# X  u' s- h4 [6 `% k
5 Q6 n. ~4 k: }8 z2 k1 I至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 " L$ M2 ~( r* T4 e
. h, k9 D4 w2 R7 i- C6 J! J% [

, }3 W6 o# ?8 D/ ^1 k! S* ]5 D
" S' r- H8 g3 ?0 j7 ]. W$ `9 B4 g' g7 ?2 b8 a6 g: d
- D) I8 S9 N8 B/ j/ O1 S6 i

( o3 D9 Q6 n* X' N1 ?
! I2 A7 J; w; B- j: O* \. D
5 V( h& H) B* g, m7 y其中  为所下注之金额。利用 1 m5 E2 R# C: {3 ]4 d" W6 ~# l
" s: o1 i2 R$ E! a
  z0 C" o4 r4 C6 N5 B

1 n, y- t/ D3 k$ \3 w
: V- ^/ d( l* L9 ?7 [0 z/ k  @( M% l8 e8 {4 D& }# ^- ^
- k3 h( L0 y8 X, |
( ]; i3 y, [& ]1 |+ x4 A

& ?' N$ V% B7 w% z  f( M可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
+ H3 d/ t" T, P* O* v$ Y8 p  v% D$ h0 ]# N# m" M7 E7 f: ]  S
1 z8 S8 q: O8 o- f/ ~

2 i3 u# C- ~9 P: a/ }; {  q' J  X7 v% |1 v$ l

, [" T& m6 y" ^1 D
* z9 v& w' z% u4 N* s" G& o$ L* _, U% w

" W( o$ w5 t; x3 [' ]& F因此可得在情况二, 时,
- M8 O" a0 i# x( x9 u1 e+ C5 G
" H* V1 B% b3 i5 o  f
% h& ~0 c, z8 Y; Y- j
( i9 s# l/ g: ^0 [, d8 w% c& q
$ L2 x5 c- l7 ^6 S9 J2 U* `
# x0 p- a) j; _7 w6 I5 f' {# d
( g# l  A" m' N' \8 D
( m8 g+ W' V5 B! S9 \
' o8 T# L) ~3 d而在情况三, 时, " ^: `3 m! ~! H& z" g
& c0 C/ S1 m( O! B8 q
! m/ G2 G8 n) S; P& J: j; g

1 D$ M; c5 F% m, {# h, O& Y- J, B" G8 c, a( [

" x7 Y7 `8 }( ]% b5 }5 g+ ~' ^! k/ ~- Z+ b) |3 z. R

5 \0 `( }- N! F$ |- U3 q4 b
* q: Z+ I* _& h* B5 n+ _0 B但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
2 P/ m& T: Y4 j0 x" d  c; l6 N$ B) F# T
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 . ^) G. K) ?3 M7 C8 X

! ]% ]7 g- V# }- u  L( [附录
7 r- `4 A. c8 I& @  A
+ @" `( \0 Q8 f( \+ l7 l6 O
8 @1 ^5 J' ^/ u) m( z在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
5 z% L$ X' D  J* s
/ t, O3 ^; ]; q# J5 F/ e
! d" q' q$ ?  d& @' t' M2 d  B( J

  Z0 H3 r7 G9 p$ X9 N. u  G0 i$ _  e' q
4 W6 N9 w7 K& t. ~2 E
1 [; O: p' H3 S* C1 G8 s

2 f8 F9 p5 \9 I0 h; n. ^/ e另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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