随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

1 B; I( r* j  X6 j& i问题
0 P9 D2 Q7 H! {3 [  D

5 u8 q% z' c/ O, h% H9 o有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

" g# L! q  C+ ]3 k" C1 N( V当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文


0 N+ c8 K' Y: m! C问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

) V2 p+ w, v8 z3 {8 I% d1 t
2 P$ R! g/ h8 n方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
+ d! u! Z; s2 Z. k  ~
4 R) _  [5 G! _- M首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
- v( V1 t2 I3 e, q# z) @
0 D+ s. t: U5 z" p; d++,
2 U* b; \7 \; _8 O+-++,-+++,
: U, F: P3 U7 J( _) g# R9 n9 _4 R1 Z+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
. G5 o; C. ~1 u% F: X                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

" v. d3 o5 G& Y7 w





( N& E! b* }! L! K


现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

, P' y2 P' ~; K% s3 v3 _1 n; z++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
# }" A0 g+ C# F" ]$ {$ C-+-+++,-+-++-+,
                                 
0 R1 D5 [: Y' z, ,
                                                                                。
/ t, M; g7 |8 `6 z7 g4 R- z# i
2 ]0 Y% r9 f( s% ?; I仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
3 V% I. r% E6 ]+ D7 N+ q. P( t
/ h( J# r4 G6 r4 t
1 y5 b# @& T7 y& W
, j) G+ j/ ]8 D- r1 E
' S: G& H& R0 \0 ]% \
8 P7 W) `+ V) ?3 w  r0 r# ~
3 u8 N# A- I3 }0 j9 g3 U# e* t; I

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

* {+ A& G; J$ B5 U# e% j这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
. g0 |- I  I- l2 c8 s/ c: i
: i7 O" k$ E$ }6 X: f$ g8 E现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

. [$ O) u$ T7 u! ]0 R4 Q8 c情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
( O1 G8 Z) l( \( H
, O( o1 h0 p# `+ q3 r情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
2 ^( c+ f. i9 ~; [: f. O2 o6 S3 V
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
' t1 E! Q7 o7 G& @
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

  A* }8 m0 ]+ ^  G: A6 s如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
" z  T' ?4 A: Y. [

情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
8 y* j9 D  [5 R/ t: I" y
. r2 l$ Y5 R  d/ m! C' D( B  o
  ^) v" P! o. p9 m9 q" V3 D! {
5 k6 V- c/ G8 N" U0 v
! j5 Y( T% r3 C# k/ a8 Q

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
+ F$ x$ |, U! r  ]3 @# S/ |6 F3 z+ A' I
9 K, f2 W% |! N' m5 A情况二：  
9 c% z0 p- e- j9 v0 p! J, c令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
, o3 r; R8 {$ K8 ?. ^' u: ^

$ U6 i6 D0 i, F: Y$ `& G/ I9 c& x



$ w/ X3 N$ q; `! `. s这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
0 w0 R/ v! [3 a/ g# i利用p+q=1，上组方程式可改写为
5 _* X; q7 s+ N& |1 D

+ t1 F- r. c. P! E

& P: i0 e1 X4 s; {; u
/ |. ?6 `3 [- w
9 g0 I" `' N# w  \两边相加，并利用 、，得
) v! r" T$ n' P3 x2 w  x$ y
2 Y( S' B) a2 M) M. }




若取前 c 项相加，则得

1 R4 d3 d9 U$ \/ B
- u# d7 V/ G* Z, f


/ k6 Z" @! i* C6 B/ {% H
情况三：  
仿二之解法，可求得
4 r& e4 n$ z& X, g: Y

# z# N0 C9 Y% g7 u  l1 ^

9 }6 O2 i. ~1 a! K  T' N1 `
3 B+ {5 o3 _' l5 t& u8 o7 f& C
+ b! e9 K" G% {
' ~, g$ Z$ N% T% z保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
9 q9 E: ^' [/ {% Y& ~4 B
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
7 ?+ v! D0 B4 J; c
1 ^6 z6 k" B# Y2 [* R
0 s" k& @9 L+ i; g定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
  C* ?0 U* P6 a0 S7 A此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
6 e( K( ~" S9 h, K
( e9 R1 [& i( k' ^' a8 ^& t9 I现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
$ ]7 w. Y0 _( I6 z  ^
0 _/ m& i7 M1 P3 `: E6 f0 s2 i! H1 r首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



. W$ e4 D* @0 c

. J$ Y. ~6 r- a* P% {0 {& f: `


1 V. `0 b2 ]  o1 l' Q其中  为所下注之金额。利用
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- I: C  L5 m* g/ |$ Y3 S5 L

! s6 O/ j5 N# v, @0 k' N
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$ V" D6 Y! S% q. [1 `可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
, I8 L7 p4 P2 K2 o! p



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/ y/ d+ n+ j: r/ O6 M' Q

3 q" D7 l/ m7 `' `# A
因此可得在情况二， 时，



2 u# }( F9 f2 D4 t- O
- K' Y1 b* G" [$ S0 y4 [9 h
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  @  Y/ x, H) u3 U% y
而在情况三， 时，


# E2 C, y3 A8 h6 H; \% x5 i' `

  E( W: p- s3 s; s! |" ~" N



但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

( \/ r7 u2 f3 y+ c; t. n5 t3 ~至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

+ @* b, j3 c7 v- F, h% \附录


4 i" L& E3 T2 {5 \在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

4 E1 c/ h1 \  ]* I2 y7 S; n2 C& @
4 R& F5 W) t4 A7 d: e+ @0 z



" [$ r, A5 k$ B" _- M! T# f

3 g' ^6 u6 R) T% y  Y( _' ]0 g6 r4 Q! b另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！