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引言
' J; l, F2 q( n- Z0 C' ^, |" d, Y/ h; f9 Z
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
1 M, O- l. s8 t2 G" S* h3 Z/ }& s* n0 \6 @1 t- C" ?9 _$ h/ a+ `2 L
问题 2 r4 \% Q$ x% J0 d, Z7 B
4 w, X* k- I) a- f4 U4 i, Q+ I

/ S: c. _4 v2 g" `有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
. U' C2 v4 N9 T9 i7 D) y
: d2 P6 E6 i0 }: x5 c, _4 [当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
% F: A2 p  \0 @) p: f0 D2 ]/ E# J8 R7 e6 h& i2 l9 v& p7 @
本文 ! Q3 M# X6 k- G2 M
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问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 " [0 L. C  _8 I; M! J
; V) J9 }8 _# V+ u4 {. D( |
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 6 w9 l* [# B( v7 v- f

# l; ^+ e* H8 L* k' i, e$ F# a) m9 J) g+ e4 |
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
  t) a# c" c& H+ Q& X: G, I- ]2 I方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) % ~6 y& [& E7 N9 o' u: e/ z
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
3 j5 u. O1 B9 [+ U你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 : K4 I- k; Y9 b) J" Z4 D

  {/ M1 D' H5 S' w  j++,
6 i- t5 i! V; t6 R' `1 z# p' P+ s+-++,-+++,
! y3 Z5 g, G; @3 ~0 \( D5 `3 I5 o+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
; t6 p+ `" ^* x) H, {& j: p                                                                                                。
' f$ d  r. C3 P5 y% f* {+ P0 `在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
) Q& [5 q5 a7 V0 C5 {9 m
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% o- i6 e: W7 l# g1 ]4 u8 K0 F- q8 ^' W8 D+ k" L( o4 Z
( B7 l0 o! A& R# @

. e/ h7 K. B% {9 c
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- {$ N, l3 u% z0 p+ C

' d& W0 ?9 `" r+ K& @/ R现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 8 e. u! I5 |' j  r2 R, e0 N: @6 N
, Y; M" J3 ^! F
++,+-+,
6 |3 R$ k0 X3 F8 E2 i: Q% V. S-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
) f" _, l) {1 G4 @, ^( M% F; W-+-+++,-+-++-+,
- X; P1 E/ F( D3 m7 z3 k7 v1 C; [                                 
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0 X7 u% M/ w; E8 H  N# l0 b# k- W2 K/ d" y- h6 _
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 + E2 U- _6 g1 q2 ]6 z) e$ C
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2 p+ y9 a9 T7 S+ W
3 j& F$ I  p. j7 @, ?+ f8 @" A+ I" ]" h# L+ f

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& P/ c* N) h) w2 T最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 ! H3 t+ |- S7 E! w! A9 C" {

3 @' @7 O5 v- p- q& H5 V* I0 S! B现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 8 \5 Q0 w& `8 e2 ?6 k0 D
2 L* S: }! H/ |2 v6 Y/ t
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
3 E0 U% D* G' H( |  }
1 M- ~6 C7 E7 X9 W现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
2 P. w  m2 y) {- s, u: Q  _. x$ Y! I) m1 C" O+ _
" u; A! m5 F6 R& Z* K8 Z; _- j
情况一:  * R* e5 z  a9 Q. a
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
7 m, ^; F1 i% U; V
6 F; [2 {& u/ B- u2 ?: Y+ d/ ~% A5 ]情况二:  
6 N) h* X; ]9 ~1 W' a此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
( ~5 H* k( s" g5 z+ _4 e
; r& E' K8 g) V* r情况三:
" X" B# I6 h' U- _; z此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
( P; }; z, r% Q; X; @  I" J# g1 s- d
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 7 Z$ d% f6 y& e% C6 \& R
/ z/ U8 z7 \- e2 W6 ~
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 # P7 U) Q  T8 y  p$ H6 v5 ?( I
8 e. X/ \7 c- X
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
! `+ ]" U7 j" [1 ?) {5 G
# d$ }: i1 G( w5 i& ~# P+ c$ E: \+ n. V9 f0 [! _- S
情况一:  0 ~+ Z! d* ^% ], {
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 / P! h3 H' [1 Q! H/ a  w

: h% X" Y  N  g* ]5 H# @7 k( ?/ N: o( T$ u# u% `
  f1 N4 Y0 y% x$ L0 p+ Z; B5 ?
; R& V% u5 V7 Y. ?

# U0 Z! j* f# T9 F0 u! @+ e; u7 g7 V+ L9 ~5 c- Q7 |9 \$ f
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 ' S1 H) D* S/ X2 i0 ~4 V( ?* ]8 k( T

# H- D" R/ U3 V3 k6 x! E7 [情况二:  7 j% i& f! }- m" F1 _; M, x
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
" z: G5 S$ h& h5 B
6 u$ j2 I1 m5 Z" V/ e8 D0 N7 G9 n. u0 l# q# Z

" q+ M5 Z# |3 [2 u9 ~" d* K5 J3 e" \; v: W! q
: M9 d( g: B- j2 F- y4 `( W
7 R* H- B: v, w
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
4 E' ?/ B# A$ C+ Q利用p+q=1,上组方程式可改写为
5 P% t. T* h- e/ I6 y; P7 U  v$ T7 z7 [$ ]  C2 Z

# ?$ b! z0 l  y& D. l7 D) |1 b5 ?+ g4 l2 f5 W

0 ]4 }% O1 n' l# d
& A% o4 Z5 o# i+ x7 H: L& [, A+ V& Y2 a! E$ o
两边相加,并利用 、,得 . E/ A- W" `! Z+ D) |% x) `1 F

2 `$ j) x2 z, `' X- N2 y0 ^  Z- L$ g# R  o* \- P4 p

( k" h8 u, i* q8 q( J. E/ f5 j0 {" E' @8 R

* u' W0 K4 r2 b/ D
5 U, p: q: J6 E若取前 c 项相加,则得
: M! ^$ m' o' ]( `) a6 `2 T/ A: {# \6 Q
; c* ~. O8 @; Y

9 Q! D1 t7 [  V' J  Y- ]* @- I

! T3 g, O7 G9 s4 Q9 b! W. ]3 v4 a9 [( n" ?1 l' [
情况三:  : q5 R3 `  Q# ~; u
仿二之解法,可求得 2 I- m$ ~2 Y& q4 k! ~/ m9 W7 h" d6 i

/ X& ]: Q+ E+ Y" z( h
, @% T) B3 P8 b4 p5 X
8 u2 j. Q3 g8 V. Z+ F2 z
( ]& C5 g6 F0 D, Q5 J
- w  d0 H. U/ r+ ^/ G6 C
0 W7 F6 C4 ?. G, a7 b5 p& A, L! W) P" f8 A* Z+ `8 B+ F
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
: o5 b, R3 ~, l7 P# b& Y1 B
$ D& L, h5 U1 L6 G2 o首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
. q/ I+ o! s/ |6 E) P" s) m0 k) K
2 h' J& e1 `  w9 W; C0 Z5 M2 Y0 e% S, z/ @8 s& @. ?- o( a+ q
定理: 0 J2 W# K- c+ C/ A
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
" h/ L5 q  b$ H此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
6 W9 p4 T: o: ^8 ^
& V6 q' d: H+ F0 r7 Q$ d现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 0 l6 |; Y. ]4 Y( c4 o$ n6 M, H
  ?9 H+ Y; I; K# _
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 ; j/ U4 b$ Y: v3 f7 @8 i

1 o5 i0 [" {- O. Y# ]至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 0 i! t* K7 a4 ]* b. @( x
* v6 g! L! V) S7 p5 Q

3 c2 i  _6 l0 J1 U2 d
% A1 F# B- g# D/ U2 u5 N
& P0 c6 a* s1 C* \. `$ s* I+ e
) P' m  }: l/ {  `6 T, ?4 [* Q
. a8 g( e: O! r, ]( g: T* D) d+ s6 a. \
/ |" l) ^! ?3 i" |7 ]; Z% e% n& E( E
其中  为所下注之金额。利用
$ g! d3 d; q  b5 x7 m
6 n/ Z3 w  @% S0 O# M  ^
+ e. H1 w+ p8 h# I- A+ H8 e+ \
8 f1 }4 I) m0 I5 p) J2 y1 p: x( ?8 z3 K$ s

8 {% h2 }2 }0 y
! b7 Y1 X* |; q8 r
7 c( S+ Q6 D: m' K2 q; B
; q, X  [. k8 Y7 Q可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
* o8 {. F$ X* Q- I4 i8 c# }+ s5 A
$ b' G  [$ h, F. ]# c* b/ n8 F1 U* ~+ b2 O/ c/ I2 `% g

$ s" l, I7 W9 N5 N7 ~+ Y0 f
9 X. M6 g; i- Y# L3 {9 v
- q# D5 K  q* r" C
2 h$ q( O  j' y7 g4 F7 X- i6 D
" ^7 x9 V8 a# W& g# l- X1 ~# q+ U# |6 g# R0 p* R, ^- e( w% S) f
因此可得在情况二, 时,
& f3 X; Z/ F/ B" W6 B' k& W6 e6 w6 z  X; l3 N  }' Y7 t9 N# G; O, E
9 P3 C$ u/ y/ R* k  }

; U5 L9 Z: }' f& I/ c4 J9 i
3 h4 U$ K2 k/ j3 i- a, S
( U+ U; c, @( O3 E6 p3 L; H" Z2 q- T+ O  P" T: \

5 o# Z- J  F6 G1 o# A
% H) L, M" h& j5 B而在情况三, 时, 9 E2 J# P8 A  l! Z  N; D
& L" [4 Y* w* X- k: c

1 m8 M4 Z( ?- X
% X+ ~/ R; J) B0 s- s! B% X
$ m- m6 o% Y2 s% ?# E3 A; H6 L" n1 ~% ^1 ~/ M
5 V+ ]* x8 Q0 A2 g
$ b+ x, N& a# Y5 ?( {* P- {- @6 t
9 n) I) ]3 v1 G* ~1 c
" B' e0 e& X8 r7 t; p3 o5 l3 e& M! c/ J但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
7 k* p  E% n9 O' d( d; e- `& D- G- L
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。
0 h7 @" j* n! Q+ d: o0 F9 B/ p- [0 K& ?1 ?- x- ^- }
附录
7 a* G: e9 N! E. i; u; e+ {, {: [) }+ U# |
; l( u9 Q, T9 A8 ~$ t& W+ ^  }
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
: D2 k6 y, O% u2 F2 S7 g$ G/ T. E7 u6 _2 ]8 H9 b: S+ u

7 u! W* @4 c( t  U# I; q0 w) Y" t# C; d# \$ a& E! C

; j* ~. P6 ]: H3 S0 n5 \
1 r( }" @8 C: b  f9 a
$ K2 J, G" f/ q7 I$ ^8 d5 ]5 j0 F& m& K

. }& v' b" \. r$ C! E; F另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
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太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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