随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
3 Q* N) Y* i) M# I$ ~8 M! Q3 w: d
问题

+ c' G! w* Z, J0 U& S. L' Y' |
0 \9 G! J; W5 ~" l- p( T有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
& G6 r8 A# }7 a
# P9 t) V1 z: a. g; }当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文

9 v, B4 E: Z  x
' ~/ n4 u2 l" W0 l' I: t. @问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
7 n. G! p; u, X% |. X方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
1 {* K5 w, L3 N: w8 o你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

$ J% U: `+ G3 a/ {首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
( C) R. N5 R7 q% Q' O7 W% Y                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

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2 G# G, w7 \- j


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# A3 r. [8 }  @/ n* N2 E

9 u1 }+ z# ?) n( \  E" }
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

1 u2 ]  Z& z9 o9 X3 s; Z1 V++,+-+,
  g) Z: q* Y* J4 n-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
' N/ [# ]5 U' U& q2 y& i$ }: T-+-+++,-+-++-+,
# K6 }7 O5 [, C5 Y5 z0 I' e6 T7 s4 N                                 
, ,
+ W* Y8 `6 G# p+ K                                                                                。
' j! {  Q/ w* E& P) F" W0 i! @# v
. n7 O( k; z8 {. X; {仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
6 }. r( v5 O) p

" `0 b1 x  T% V! B  W$ ~

0 X7 D* L3 L  o& }, J


9 `0 m" P7 ?: X
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
4 }( ~7 d! b4 Q) ?2 Q) q
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
) {- o& A  n; X5 [& n* {8 j, N
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

2 A6 t/ E2 p% p9 w- s$ o2 J: T情况二：  
3 M, e. c* J! d. b, C& r6 J  ?此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
/ p& ?3 o: w9 T4 [
情况三：
7 R5 P2 U, H' b) [% T此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

8 c- f# a, D, a1 C3 h- {/ s( Z/ X0 E现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

: t$ r7 R% b6 S& Y9 g' B由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
8 |7 |$ T. G1 @8 P7 P6 f
/ E' B4 X  U5 m+ C) ~
情况一：  
. x  R  B" s  c, n" [假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
& f# }& q5 |2 \  x4 v. r# S' T

- D& K0 x( |" ~! t/ f1 e! @9 C6 j

; K& z( g8 I+ h2 c7 d' o5 t! u

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

" c1 V" t5 P3 d' Y' E8 H9 P情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式



9 y" Y; J9 ]' B4 M


这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
& ~5 g( }# N. f, G利用p+q=1，上组方程式可改写为
- \  c8 }3 S  ?& W1 P3 ]7 h1 A

* [8 a7 X7 I% _; d. _3 J
! k; H/ i. Z. Z' t6 }7 O- g9 A. E
6 X4 |& u2 }- A0 R  g1 I2 c
6 T3 F' E) n" ^7 y6 i- V
两边相加，并利用 、，得
) \/ i5 V( c8 a( j& w5 h5 ?" @

$ H& R: U3 u8 T2 C2 `1 R, g
6 u! ^8 u  R; g
; G1 p& ]) ^" }5 p. d

. V1 ?# g, _& w7 o若取前 c 项相加，则得

$ M) x& y% u, D" ]# V
3 {4 u( Q" n& o4 ~, c6 H1 f/ p
$ R; }, P" _, M
0 T) {1 ?; q; a$ |
: [; {8 ~& \% L( s7 Z$ ]2 x- W5 v: I
情况三：  
& p- ]- j4 G0 z% |2 }仿二之解法，可求得

  p0 j& y1 U) U2 }) j$ B


) W' ]- s! w. i4 C6 t

# a$ M; ?" |" G. m: d  m: z1 P6 A
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
, d" I. u9 b7 Y  m$ H' i0 z
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
  H5 d7 P$ _! N) i6 R1 Z1 C
4 q' E1 ~8 \: o6 V( c- m. i
! L7 X' u% A7 o. j7 [定理：
4 k/ m+ k! t( m; C+ b. u设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
- Z) a; w* |5 v1 H3 k# v5 f此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
0 a" e9 c8 \# W+ o
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
* g: Q' M! @6 k" c
/ C4 G6 V5 s# V, J2 p- E. ~首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
. }" H8 f% q# {- c+ A* x; r5 z
# x% P# r* f- B, F7 c$ [至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
4 Y* q: K8 L- \" e0 s- y
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其中  为所下注之金额。利用
5 `( \8 Z9 Q* b

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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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- C* D6 f# [. q' z
0 R2 q! u- F) i' z' n  b因此可得在情况二， 时，
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/ c. y8 v5 f2 C" s8 B5 z  _% ^" A而在情况三， 时，

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4 ?6 o/ o% z8 e' H- E
$ T# E* ^; z3 [- B- z+ I# ~  n+ f



$ V1 A, B/ k/ I2 O- m/ [
+ c. i7 X8 S6 r2 c但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
& A8 ~! K# i# Q! w6 V' x/ O
- ?, n2 \5 b" `" F/ K% B4 k至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录

: W: {" @( ?4 N4 V: R* t
  r9 j/ u5 s) ?# l在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为



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0 |- J0 h4 G2 {/ A* ~* Q/ ~


+ [* p. `5 t" c. q另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。