随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

9 B+ v+ {1 O+ D  A: i. s问题

8 R% _' _6 ^- i4 f0 U
. Y3 ?, R3 @5 T有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

. h1 h# v4 `$ C  n6 G5 t当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
1 r2 ^, \5 M, `* [. Z, M" C7 ?$ N
本文


4 y# N! k! n: ?" q) }2 A, j+ Y1 M问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
: f0 \4 Z  O' w( Q- S  b0 z- _
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

& r& t. c* E) b% l0 W
, i) W+ ~3 b# |3 @方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
! q% h& ]# G4 M% A9 p6 ~9 b方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
. s( X- |1 K2 q; W方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
0 M* v6 E' D1 G, T$ b你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
  U; x# L  G3 ?1 r
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
# y. X- |0 U$ `" P7 b
++,
  n$ m4 L9 J0 H! d* @+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
: A* d6 C; n/ ^) B7 U* Q+ U' t                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

& m, k: y9 |3 Z- {5 i: x3 Y4 G


3 A5 V! m2 q  G# N6 \


* f3 Z7 X9 G3 O2 r  F7 G
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$ E# e) c! E+ |* f1 @
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
& P( w) o5 [/ G. s- P  M9 H
++,+-+,
1 Z# L, U7 S4 u# N4 m7 n-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
9 ^5 H, O, d# i* @" V: O$ B                                 
) Y& O/ a. \# b+ A/ s  y, ,
) S% V- k- f/ Q& m+ ]+ D                                                                                。
5 x& L# o) |- n0 C  d+ ^% T
& l" y8 a# k; W仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

5 B% x- U3 z9 [" V1 w9 [
5 ?1 _% w5 h2 o0 A3 m
+ a$ x5 x5 |, ?% Z

! u6 Q2 q$ c; h0 O8 t/ s

5 T8 k: f  s7 v/ Y% ~1 b8 [6 `" ^
- g+ a: ]" N& ^) `% G  D! d最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
0 s% j' @, N; J, p
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
% e6 D$ v3 {9 i
. c! q/ D' o2 Q; M6 E; Q3 d2 S这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
: a' t2 D+ u1 v8 Z5 w( C
5 k$ s# [& \$ @现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
) `$ b0 ]. N' Z1 y- m8 e6 ]

情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
  u/ @( J. S# C* M! `
情况二：  
, Y+ X# E; w8 [' r0 o; c此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
) z* `7 N$ e" g8 g4 `
情况三：
% u8 |. Q& F  C2 l/ u+ k) G) ^2 B1 E此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
1 D  S! N* X7 r( K5 _
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

8 b8 l# b% q9 ?2 R
情况一：  
+ T) a' c- S6 `9 @" c  Q假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
/ Q9 u1 d$ c# K0 O7 f

% k0 X  s: X8 b# N5 S' |2 _4 a


# M) \; M! I% q' J
! G8 I8 \$ I: J" w! q这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
4 w; o5 Q, L  l
  h0 m8 P6 ?! C7 z情况二：  
* B8 a6 Y" c2 ]' {  i4 w令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
, a, _& Y: ]" P' K


- R- o* k  a7 T' ?0 i- n. s
9 x3 }/ i# t; G. E% g

0 L! N0 B! W; E/ L这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
5 l* J+ W( p% z; U0 l利用p+q=1，上组方程式可改写为
# W2 |: \0 [7 n8 x) x& s

# E7 W1 D/ N- R$ z) V  S, t

% _: K( L2 C0 f" |: m/ h
( z5 k* n' I/ m, s* }, R
  S1 o  Y3 C6 Z5 ?* _4 d- e两边相加，并利用 、，得
: V% K. H7 d+ Y' q

4 J7 l2 k0 U8 E+ G: N1 i, B


9 Q$ Z" W4 p, i3 o+ w; n5 u5 I2 _! f
若取前 c 项相加，则得



- p! V; ?- V3 x& L


5 \# }- ?! @$ E情况三：  
& R5 h+ c) a: L2 F仿二之解法，可求得
: ?0 m  I4 m+ o4 e' F, `. n1 u



; `4 r5 b0 }9 Q% r
+ t; E  l! n) d) \" A
( r4 j2 m; S6 x0 A5 h1 T* l
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
2 u# L4 j4 q0 ^
  y& J- ]. P/ A  |首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


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1 T+ A' @+ h. E( k, x" H
% c+ F6 M6 e% Z


- e3 r/ c1 h2 O( ~其中  为所下注之金额。利用
1 F. {/ N+ f' m2 c: v" _






/ L3 S. S- W/ `
& A! r% q& g$ W8 F9 f可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
8 u2 I2 p9 O  h" l1 [/ }/ T! c

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' r* M, j. @2 o
, F7 h% U0 |& ?& Z) ]2 L, A  v因此可得在情况二， 时，





5 K# _& R! y* N, S4 ]/ n

3 w' T+ M/ Z. A' C
$ l( A9 ~4 k3 b+ p- q- j" S而在情况三， 时，
- ^$ z4 d- x; m4 Z

" x2 U' u2 M. O. F8 j% S5 R& t





但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

! x( {8 O4 p) E1 W' u7 x至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
; K- v& q5 x( c$ ~
附录
1 W/ [9 P+ i3 g- `7 V
' X" Z7 T+ g1 j) C  p% ?/ h
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

  g$ d2 l6 O( v' D/ s: I9 P( Q  T





8 s3 M9 w. e' G/ \. B
( J9 T. P1 T9 }0 c/ F! }另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！