随机赛程的最佳策略

引言

! p( ]! H/ M$ L. w在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
1 I9 b4 l" o9 X0 \
4 ?  }8 B6 t' Y1 J6 ~  J问题
4 Z* q! e8 W: Z

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
4 s: f) _0 a* v3 y, H2 N, q
4 f9 l% B8 b, k$ u3 V, T当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文
8 f5 L7 c8 ~6 l, Q: U% F
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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

( L! G! u8 {2 {/ t9 h# _4 _2 B
* ?: Q- I: ^# U; T# P$ }2 ?方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
1 }) h( F& y# i3 M  e. w. g方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
8 ~, H" `# `4 S$ R9 K* g: X你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
3 e8 @, W0 Q) ]% X0 @& }
3 m$ Q% z9 \; @- j' r. {; C, g首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

0 v& N- u2 O/ u4 D  h




4 F' ^, n! p6 i( ^. c$ W6 x- k
5 G/ H2 _/ |1 Q  E

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% m) V# Z' @3 G$ D现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
" W" [+ O# S6 i- d+ V; |2 W
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
1 e% O: ~) c+ _# a, ,
                                                                                。
! l+ z! _4 i4 k
0 h# g  A% R& d+ I2 d$ s, R仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


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  \% J* t/ F# T

4 S; I& a2 }' c9 E1 l: q- ]

4 k: D/ {% Q' z6 J7 R4 {
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

: i7 i  K  e4 ^8 I现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
! \- l% H5 p) S6 @/ K2 C
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

! N4 W0 ~7 B% |; w) T, [现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
3 X; K8 n+ z+ }& J" Q, N( f# s6 X

& f# q/ P8 X: o, N# D3 f$ r* Q情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
9 T! u/ j6 U# Z9 G
( K2 e( e* h/ b情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
% S/ z$ m& A; X3 `9 }: T此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
6 [! n. z  r: _8 H1 V6 z$ e/ b


* I( a9 c6 L$ b+ _- j

8 g. B) S) O7 X0 e* U0 O  Z
3 |3 c; Q! U( {这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
# e, B2 j" q2 r4 f8 m  r  o/ B+ E" G
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
9 r0 R# {$ N/ R0 \  x- Z" e, I/ O

, ~2 `, d$ `' o0 R0 s



! E( K/ O3 F3 @+ I5 }+ z, `  ^( Z8 l这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

7 A+ ]! X. ~! ~' P
  \1 k$ Y- s6 K5 g8 w



两边相加，并利用 、，得
0 A: A' z4 V1 x# N! z


2 e+ r$ m/ w* Q, L- O9 J
' \7 T2 C  m9 M3 c1 f

7 m! B; N6 M  K" G  Q若取前 c 项相加，则得
' H, y6 L' j6 t" F$ e& L



% v" k6 _& T2 ]) t& J, t, Z5 N2 T

: k# h/ ~( A8 O. r情况三：  
& E& Y; _3 w  W) V仿二之解法，可求得
1 U; h0 B- H; G( j8 K! j7 h0 l

8 b" J" m6 {: ^! d" M

; w1 J0 x, z  {4 R/ N; {, G

8 Z( I9 @* z! s* h7 J) A) K) [
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
. V" }4 g& Y  |
8 t. `! J$ f3 K9 i; @+ g, R首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
  J' j2 z" N5 G6 Z' ^1 {- M
% G9 ^# U9 j# ]  H0 ~; m
! R6 X; D1 d) c; E2 S/ V8 A9 t定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
& Z: O+ N0 ^  o6 [/ O8 v4 h此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
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首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
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& X0 U& @! l" f4 X/ c( e至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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) a4 M% B- X, i6 Q



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8 X! g0 [! W4 f9 n" i
3 f: E- T& W9 m. @+ d, k& T
5 Z( Z1 L4 L/ E5 K' {1 v其中  为所下注之金额。利用

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# R, b# S$ R$ E/ e# Z8 ^

0 q' |0 R8 d0 z" L$ t
. U4 x" [8 H9 X3 L可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
6 [, Y- S) a+ \+ B3 U

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, j- b, B% y) q! V& Q因此可得在情况二， 时，
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9 P4 Y, \( U% b2 U8 G5 e- v( M) r
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而在情况三， 时，
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$ h1 V" ?5 t! N$ }5 G( M
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' [9 j7 _6 C: E3 y7 Z但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

7 _" F8 O) s! M至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录

' L  U% }& {9 I8 {1 H5 f
  v1 d; I' x) f* }/ E在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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2 s+ n6 q; [4 J; d  S6 k! V
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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！